§5. Khˆong gian h˜ u.u ha.n chiˆe `u ......

= 1 kA−1k − kA−Bk kxk. Vˆa.y B−1 ∈ L(X, Y). 4.3.4 Chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng

Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`ak.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trˆenX (nhu. vˆa.y ta c´o hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (X,k.k1) v`a (X,k.k2)). Ta goi hai chuˆa’n n`ay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng nˆe´u ´anh xa. d¯ˆo`ng nhˆa´t id : (X,k.k1) → (X,k.k2) l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh.

V`ı id l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh nˆen theo Hˆe. qua’ 4.3.2, d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ k.k1 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i k.k2 l`a tˆo`n ta.i hai sˆo´ du.o.ng c1, c2 sao cho v´o.i mo.i

x∈X, ta c´o

c1kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2kxk1. (4.5) Chu´ y´ r˘a`ng, trong thu.. c ha`nh d¯ˆe’ kiˆe’m tra 2 chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng ta thu.`o.ng thiˆe´t lˆa.p bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c da.ng (4.5) na`y.

V´ı du. . Trong Rn ta x´et chuˆa’n k.k∞ d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa

x= (x1, . . . , xn), kxk∞ = max

i=1,...,n(|xi|).

Khi d¯´o chuˆa’n n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i chuˆa’n Euclid trˆen Rn. (H˜ay ch´u.ng minh nhu. b`ai tˆa.p).

D- ˆe’ ´y r˘a`ng khi hai chuˆa’n k.k1, k.k2 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau th`ı hai mˆetric tu.o.ng ´u.ng s˜e tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆe` u.

4.4 Va`i tı´nh chˆa´t cu’a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng

Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` Y la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ng cu’a no´ . Xe´ t khˆong gian thu.o.ng X/Y va` a´ nh xa. chiˆe´u chı´nh t˘a´c π : X → X/Y

xa´ c d¯i.nh bo.’i x→ x.

4.4.1 D- i.nh ly´. π la` mˆo.t a´nh xa. tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c va` nˆe´u π 6= 0 thı`

kπk= 1.

Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x∈X ta co´ kπxk =kxk ≤ kxk.

Nhu. thˆe´ π liˆen tu.c va` kπk ≤ 1. Nˆe´u π 6= 0 thı` tˆo` n ta.i x ∈ X/Y : π(x) 6= 0.

Theo d¯i.nh nghı˜a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng, v´o.i mˆo˜i n∈N tˆo` n ta.i xn ∈x

sao cho:

kxnk − 1

n <kπxk =kπxnk ≤ kπk kxnk.

Suy ra kxnk(1 − kπk) < 1

n. Lˆa´y gi´o.i ha.n du.´o.i bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y va` d¯ˆe’ y´ kxnk ≥ kxk >0 ta co´ (lim

n infkxnk)(1− kπk)≤0 nˆen 1− kπk ≤0. Ngoa`i ra ta co´ kˆe´t qua’ thu´ vi. sau:

4.4.2 D- i.nh ly´. Anh xa.´ π: X →X/Y la` mˆo.t a´nh xa. mo.’, nghı˜a la` nˆe´u G

la` tˆa.p mo.’ trong X thı` π(G) la` mˆo.t tˆa.p mo.’ trong X/Y.

Ch´u.ng minh. Tru.´o.c hˆe´t d¯ˆe’ y´ r˘a`ng x∈π−1(π(G)) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i x=g

trong d¯o´ g ∈G hay x∈G+Y. D- iˆe` u na`y co´ nghı˜a la` π−1(π(G)) =G+Y.

Do d¯o´ nˆe´u G la` tˆa.p mo.’ trong X thı`π−1(π(G)) cu˜ ng la` tˆa.p mo.’ trong X.

Bˆay gi`o. gia’ su.’ Gla` mˆo.t tˆa.p mo.’ trong X nhu.ngπ(G) khˆong mo.’ trongX/Y.

Khi ˆa´y tˆo` n ta.i ξ0 ∈π(G) khˆong pha’i la` d¯iˆe’m trong cu’a tˆa.p na`y nˆen (∀ n∈N) (∃ξn ∈X/Y, ξn ∈/ π(G)) : kξn−ξ0k < 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

n.

Lˆa´y x0 ∈ X sao cho πx0 = ξ0. Nhu. vˆa.y x0 ∈ π−1(π(G)). Ta d¯ˆe’ y´ r˘a`ng

ξn−ξ0 ={y−x0 | y ∈ξn} nˆen theo d¯i.nh nghı˜a chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng, tˆo` n ta.i xn ∈ ξn sao cho kxn −x0k < 1

n. Vı` ξn ∈/ π(G) nˆen xn ∈/ π

M˘a.t kha´c, π−1(π(G)) mo.’ va` x0 ∈π−1(π(G)) nˆen tˆo` n ta.i m >0 d¯ˆe’ B(x0, 1 m)⊂ π−1(π(G)) t´u.c la` nˆe´u kx−x0)k < 1

m thı` x∈ π

−1(π(G)). D- iˆe` u na`y mˆau thuˆa˜n nˆe´u ta lˆa´y x =xn v´o.i nd¯u’ l´o.n.

B `AI T ˆA. P

4.1. Cho C[0,1] l`a khˆong gian c´ac h`am liˆen tu.c trˆen [0,1] v´o.i chuˆa’n “max”. D- ˘a.t A: C[0,1] →C[0,1], x→Ax x´ac d¯i.nh bo.’i

a) (Ax)(t) =t2x(0).

b) (Ax)(t) =ϕ(t)x(t), trong d¯´o ϕ(t)∈C[0,1]

c) (Ax)(t) =x(1)−tx(t).

d) (Ax)(t) =x(1)−x(1−t).

Ch´u.ng minh c´ac to´an tu.’ n`ay la` tuyˆe´n tı´nh, liˆen tu.c v`a h˜ay t´ınh kAk.

4.2. ChoX, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A: X →Y l`a mˆo.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Gia’ su.’ v´o.i mo.i d˜ay (xn)n trong X m`a lim

n xn = 0 th`ı d˜ay (Axn)n

bi. ch˘a.n o.’ trong Y. Ch´u.ng minh to´an tu.’ A liˆen tu.c.

4.3. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, Y l`a khˆong gian con cu’a X

tr`u mˆa.t trong X v`a Z l`a khˆong gian Banach. Cho A ∈ L(Y, Z). Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo`n ta.i duy nhˆa´t ˜A∈ L(X, Z) sao cho

˜

A

Y =A; kA˜k=kAk.

4.4 . Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong tˆo`n ta.i c´ac to´an tu.’ liˆen tu.c u, v : X → X sao cho u◦v−v◦u= id.

4.5. ChoX, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, (xn)n v`a (An)n lˆa` n lu.o..t l`a hai d˜ay trong X v`a L(X, Y) hˆo.i tu. vˆe` x ∈ X v`a A ∈ L(X, Y) tu.o.ng ´u.ng. Ch´u.ng minh Anxn → Ax khi n→ ∞.

4.6. Cho X, Y l`a hai khˆong gian Banach, A ∈ L(X, Y). Gia’ su.’ c´o c´ac sˆo´

|α| kyk, kxk ≤βkyk. Ch´u.ng minh r˘a`ng khi d¯´o v´o.i mo.i y ∈ Y th`ı phu.o.ng tr`ınh

Ax=y c´o nghiˆe.m x0 ∈X thoa’ d¯iˆe` u kiˆe.n kx0k ≤ β

1−αkyk.

4.7. K´y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n “max”. X´et d˜ay to´an tu.’ An : X →X cho bo.’ i

(Anx)(t) = x(t1+n1), n∈N. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

a. Ch´u.ng minh An ∈ L(X).

b. Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i x∈X th`ıAnx →x trong X.

c. An c´o hˆo.i tu. trong L(X) d¯ˆe´n to´an tu.’ d¯ˆo`ng nhˆa´t id =I hay khˆong? 4.8. Cho k.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trong khˆong gian vecto.X. Gia’ su.’ X1 = (X,k.k1) l`a mˆo.t khˆong gian Banach c`on X2 = (X,k.k2) khˆong pha’i l`a khˆong gian Banach. Ch´u.ng minh r˘a`ng hai chuˆa’n n`ay khˆong tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau.

4.9. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A : X → X l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh sao cho trong X tˆo`n ta.i mˆo.t d˜ay (xn)n, kxnk = 1 v`a Axn →0.

Ch´u.ng minh r˘a`ng A khˆong tˆo`n ta.i to´an tu.’ ngu.o..c bi. ch˘a.n.

4.10. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X). Gia’ su.’ tˆo`n ta.i mˆo.t sˆo´c > 0 sao cho ∀x ∈X : kAxk ≥ ckxk. Ch´u.ng minh ImA=A(X) l`a khˆong gian con d¯´ong cua’ X.

4.11 K´y hiˆe.u X = C[01,1] l`a khˆong gian vecto. gˆo`m c´ac h`am sˆo´x(t) kha’ vi liˆen tu.c o.’ trˆen [0,1]. V´o.i mˆo˜i x∈X ta xe´ t 2 chuˆa’n sau:

kxk1 = max

t∈[0,1]|x′(t)|+|x(0)|, kxk2 = Z 1

0

(|x(t)|+|x′(t)|)dt.

Ch´u.ng minh r˘a`ng ´anh xa. d¯ˆo`ng nhˆa´t I : (X,k · k1) → (X,k · k2) cho bo.’ i

I(x) = x v´o.i mo.i x∈X l`a liˆen tu.c nhu.ng ´anh xa. ngu.o..c cu’a n´o khˆong liˆen tu.c. §5. KH ˆONG GIAN H ˜U.U HA. N CHIˆ` UE

Gia’ su.’ (X,k.k) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, trong d¯´o khˆong gian vecto.

X c´o sˆo´ chiˆe` u h˜u.u ha.n (dimX <∞).L´uc d¯´o ta go.iX l`akhˆong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha.n chiˆe` u (hay v˘a´n t˘a´t, khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe`u). Mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a loa.i khˆong gian n`ay cho bo.’i:

5.1 D- i.nh l´y. Hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K co´ cu`ng sˆo´ chiˆe`u h˜u.u ha.n n la` d¯ˆ`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh v´o.i nhau.o

Ch´u.ng minh. T`u. tı´nh chˆa´t quan hˆe. d¯ˆo` ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh la` quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p ca´c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nˆen ta chı’ cˆa` n ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian n - chiˆe` u thı` X d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh v´o.i khˆong gian Euclid Kn v´o.i chuˆa’n x= (ξ1, . . . , ξn)∈Kn th`ıkxk =

n

P

i=1

|ξi|21/2.

V`ıX l`a khˆong gian vecto.n- chiˆe` u nˆen tˆo`n ta.i mˆo.t co. so.’{e1, . . . , en}trong d¯o´ v`a mo.ix∈X d¯u.o..c biˆe’u diˆe˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng x=

n

P

i=1

ξiei.

Do d¯´o to´an tu.’ “to.a d¯ˆo.” A : X →Kn cho bo.’ i

x→x= (ξ1, . . . , ξn)

l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh t`u.X lˆen Kn, d¯ˆo`ng th`o.i v´o.i mo.i x∈X ta co´ : kxk= n X i=1 ξiei ≤ n X i=1 |ξi| keik ≤ n X i=1 |ξi|21/2 n X i=1 keik21/2 =Mkxk, v´o.i M = n X i=1 keik21/2.

Nhu. vˆa.y A−1 liˆen tu.c. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

D- ˆe’ ch´u.ng minh A liˆen tu.c, ta k´y hiˆe.u m˘a.t cˆa` u d¯o.n vi.{x∈Kn : kxk = 1} trong Kn l`a S v`a x´et h`am sˆo´f : S →R cho bo.’ i

f(x) = kxk. f l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen tu.c v`ı v´o.i mo.i x, y∈S,

|f(x)−f(y)|=

kxk − kyk

≤ kx−yk ≤Mkx−yk.

Ho.n n˜u.a S l`a tˆa.p compact trong Kn nˆen f d¯a.t d¯u.o..c gi´a tri. b´e nhˆa´t f(x0) = α

trˆen d¯´o ta.i d¯iˆe’m x0 ∈ S. V`ıkx0k = 1 nˆen x0 6= 0, nhu. thˆe´x0 6= 0. Do d¯´o nˆe´u

x ∈S thı` kxk =f(x) ≥ α > 0. Bˆay gi`o. v´o.i x ∈ X, x 6= 0 th`ıAx = x 6= 0. Ta d¯˘a.t y = x

kAxk th`ı y =

Ax

kAxk nˆen kyk = 1. Theo d¯iˆe` u v`u.a ch´u.ng minh ta c´o kyk ≥α haykxk ≥αkAxkt´u.c l`akAxk ≤α−1kxk v´o.i mo.ix6= 0. Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay c˜ung d¯´ung khi x= 0 nˆen A liˆen tu.c. Vˆa.y A l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh .

Nhˆa.n x´et. V´o.i ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh A x´ac d¯i.nh nhu. trˆen, Aluˆon luˆon l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh t`u. X lˆen Kn d`u cho trong X ta cho.n bˆa´t k`y chuˆa’n n`ao.

D- iˆe` u n`ay d¯u.o..c suy ra t`u. khˆong gian Euclid Kn l`a khˆong gian Banach v`a

X d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh v´o.i Kn.

5.3 Hˆe. qua’. Gia’ su.’ X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tuy` y´ va` Y la` mˆo.t khˆong gian con h˜u.u ha.n chiˆe`u cu’a X. Khi d¯o´ Y la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ng cu’a

X.

Ch´u.ng minh. Vı` Y h˜u.u ha.n chiˆe` u nˆen Y la` khˆong gian Banach. Gia’ su.’ (yn)n ⊂ Y sao cho yn → y ∈ X. Lu´ c d¯o´ thı` (yn)n la` da˜ y co. ba’n trong Y nˆen pha’i hˆo.i tu. vˆe` phˆa` n tu.’ y′ ∈ Y. Do tı´nh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a gi´o.i ha.n, suy ra

y =y′ ∈Y.Vˆa.y Y la` tˆa.p d¯o´ng trong X.

5.4 Hˆe. qua’. Hai chuˆa’n bˆa´t ky` trong mˆo.t khˆong gian vecto. h˜u.u ha.n chiˆe` u d¯ˆe` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau.

Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ X l`an - chiˆe` u v`a k.k1, k.k2 l`a hai chuˆa’n trong X.K´y hiˆe.u {e1, . . . , en} l`a mˆo.t co. so.’ trong X v`a X1 = (X,k.k1), X2 = (X,k.k2). X´et

x=

n

P

i=1

ξiei ∈X va` d¯ˆe’ y´

X1 −→A Kn A

−1

−→X2

x→(ξ1, . . . , ξn)→x

trong d¯´o A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh t`u. X v`ao Kn nhu. o.’ D- i.nh l´y 5.1. Theo phˆa` n ch´u.ng minh cu’a d¯i.nh l´y n`ay, A l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh, khˆong phu. thuˆo.c v`ao chuˆa’n trˆenX do d¯´o ´anh xa. d¯ˆo`ng nhˆa´t id= A−1◦A l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi t`u.X1 lˆen X2. Vˆa.y hai chuˆa’n k.k1 v`a k.k2 l`a tu.o.ng d¯u.o.ng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Mˆo.t tı´nh chˆa´t d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian vecto. h˜u.u ha.n chiˆe` u d¯u.o..c d¯˘a.c tru.ng bo.’ i tı´nh chˆa´t tˆo pˆo cho bo.’i D- i.nh ly´ 4.6 sau d¯ˆay. Tuy nhiˆen tru.´o.c hˆe´t ta pha´t biˆe’u va` ch´u.ng minh bˆo’ d¯ˆe` quan tro.ng:

5.5 Bˆo’ d¯ˆ` .e (Riesz) Gia’ su.’ Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X va` kha´ c v´o.i X. Cho z0 ∈ X \Y v`a ǫ > 0. L´uc d¯´o tˆ`n ta.io x0 ∈ hY ∪ {z0}i sao cho

kx0k= 1, kx0−yk >1−ǫ v´o.i mo.i y ∈Y.

Ch´u.ng minh. V`ız0 ∈/ Y =Y nˆen

d=d(z0, Y) = inf

Choǫ >0 tuy` y´ . D- ˘a.tǫ′ = min(ǫ,1

2)>0.Lˆa´y δ =

ǫ′d

1−ǫ′ >0 thı` ǫ′ = δ

d+δ.

Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a infimum, tˆo`n ta.i y0 ∈Y sao cho

d≤ kz0−y0k < d+δ.

D- ˘a.t x0 = z0−y0

kz0−y0k th`ıkx0k = 1 v`a x0 ∈ hY ∪ {z0} i. Bˆay gi`o. v´o.i y ∈Y ta x´et d¯´anh gi´a

kx0−yk = z0−y0 kz0−y0k −y = 1 kz0−y0kkz0−(y0+kz0−y0ky)k V`ıy0+kz0−y0ky ∈Y nˆen t`u. (5.1) ta c´o kx0−yk ≥ d kz0−y0k > d d+δ = 1− δ d+δ = 1−ǫ ′ >1−ǫ

5.6 D- i.nh ly´. D- iˆe`u kiˆe.n cˆa`n va` d¯u’ d¯ˆe’ khˆong gian d¯i.nh chuˆa’nX co´ sˆo´ chiˆe`u h˜u.u ha.n la` hı`nh cˆa`u d¯o´ ng d¯o.n vi. B′(0,1) trong X la` mˆo.t tˆa.p compact.

Ch´u.ng minh.

D- iˆe` u kiˆe.n cˆa`n: Gia’ su.’X co´ sˆo´ chiˆe` u la` n thı` X d¯ˆo` ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh v´o.i

Kn nh`o. a´ nh xa.Athiˆe´t lˆa.p bo.’i D- i.nh ly´ 5.1. Lu´c d¯o´ B′(0,1) =A−1 A(B′(0,1))

.

Vı` A la` phe´ p d¯ˆo` ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh nˆen A(B′(0,1)) la` mˆo.t tˆa.p d¯o´ng va` bi. ch˘a.n trong Kn tha`nh thu.’ tˆa.p na`y la` compact. T`u. d¯o´ B′(0,1) la` tˆa.p compact vı` no´ la` a’nh liˆen tu.c cu’a tˆa.p compact A(B′(0,1)) qua a´ nh xa. liˆen tu.c A−1.

D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’. Gia’ su.’X co´ sˆo´ chiˆe` u vˆo ha.n. Ta ch´u.ng minh B′(0,1) khˆong compact. Thˆa.t vˆa.y, lˆa´y x0 ∈ X v´o.i kx0k = 1. Vı` M1 = h{x0}i $ X nˆen theo Bˆo’ d¯ˆe` Riesz, tˆo` n ta.i x1 ∈X, kx1k = 1 va` kx1−x0k >1/2. Khˆong gian X cu˜ ng khˆong tru`ng v´o.iM2 =h{x0, x1}inˆen tˆo` n ta.ix2 ∈X, kx2k= 1 va`kx2−xk> 1/2 v´o.i mo.i x∈M2, no´ i riˆeng kx2−x1k> 1/2; kx2−x1k >1/2. B˘a`ng quy na.p, ta xˆay du.. ng d¯u.o..c da˜y (xn)n ⊂B′(0,1) sao cho kxn −xmk >1/2 khi n6= m. Mo.i da˜ y con cu’a da˜ y (xn)n na`y khˆong la` co. ba’n nˆen khˆong thˆe’ hˆo.i tu. d¯u.o..c. Vˆa.y

B′(0,1) khˆong la` tˆa.p compact. D- iˆe` u na`y kˆe´t thu´ c ch´u.ng minh d¯i.nh ly´.

5.7 D- i.nh l´y. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trong d¯´o X l`a h˜u.u ha.n chiˆe` u v`a A l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y. Khi d¯´o A liˆen tu.c.

Ch´u.ng minh. Go.i {e1, . . . , en} l`a mˆo.t co. so.’ trong X. V`ı mo.i chuˆa’n trong khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe` u d¯ˆe` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau nˆen v´o.ix∈X,x= Pn

i=1

ξiei

ta c´o thˆe’ cho.n chuˆa’n trong X bo.’ i kxk =

n

P (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

i=1

|ξi|21/2. V`ıA tuyˆe´n t´ınh nˆen

kAxk =kA n X i=1 ξiei k ≤ n X i=1 |ξi| kAeik ≤( n X i=1 |ξi|2)1/2( n X i=1 kAeik2)1/2.

Suy ra kAxk ≤Mkxk, trong d¯´o M = (

n

P

i=1

kAeik2)1/2 nˆen A liˆen tu.c.

B `AI T ˆA. P

5.1. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian Banach vˆo ha.n chiˆe` u. Ch´u.ng minh r˘a`ng

X khˆong thˆe’ c´o mˆo.t co. so.’ Hamel gˆo`m mˆo.t sˆo´ d¯ˆe´m d¯u.o..c c´ac phˆa`n tu.’.

5.2. Gia’ su.’ n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng; a, b, x0, x1, . . . , xn l`a c´ac sˆo´ thu.. c thoa’ m˜an

a ≤x0 < x1 <· · ·< xn ≤b.

Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo`n ta.i sˆo´ thu..c c sao cho mo.i d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n, hˆe. sˆo´ thu..c

P(x) co´ bˆa.c khˆong l´o.n ho.n n thoa’ m˜an d¯a´ nh gia´ max

x∈[a,b]|P(x)| ≤ c max

i∈{0,....n}|P(xi)|.

5.3. Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, S, F la` 2 khˆong gian con cu’a

X sao cho S d¯o´ ng va` F h˜u.u ha.n chiˆe` u. Ch´u.ng minh r˘a`ng S+F la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a X.

5.4. Tı`m nh˜u.ng vı´ du. d¯ˆe’ ch´u.ng to’ r˘a`ng trong mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, tˆo’ng cu’a 2 khˆong gian d¯o´ ng chu.a ch˘a´c la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ng.

B `AI T ˆA. P CUOˆ´I CHU.O.NG I.1 Cho X, Y, Z la` ba khˆong gian vecto. trˆen tru.`o.ng K.

1. Gia’ su.’ f :X →Y, g : X →Z la` ca´ c a´ nh xa. tuyˆe´n tı´nh sao cho Kerg ⊂