Bài 4.1(HV An ninh Nhân dân). Cho ma trậnA ∈Mn(R)như sau
A= a1 1 0. . . 0 0 a2 0 1 . . . 0 0 a3 0 0 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... an−1 0 0 . . . 0 1 an 0 0 . . . 0 0
a. Hãy tìm một véc tơx ∈Rn sao cho hệ véc tơ{x, Ax, A2x, . . . , An−1x}độc lập tuyến tính.
b. Giả sử ma trậnA đồng dạng với ma trận đường chéo diag(b1, b2, . . . , bn). Chứng tỏ rằng các sốb1, b2, . . . , bnkhác nhau từng đôi một.
Bài 4.2 (ĐH Bách Khoa Hà Nội). Cho V1 và V2 là hai không gian con của
không gian vectơ V hữu hạn chiều. Chứng minh rằng, nếu dim(V1 +V2)−
4. KHÔNG GIAN VÉC TƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 37
Bài 4.3 (ĐH Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh). Cho H là tập các ma trận thực cấp 3 có tổng các phần tử trên mỗi hàng bằng nhau và bằng tổng các phần tử trên mỗi cột. Chứng mình rằngH là không gian con củaR3. Tìm số chiều củaH.
Bài 4.4 (ĐH Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh). Cho 3 véc tơ X1, X2, X3 ∈ R3
độc lập tuyến tính. Tìm tất cả các ma trận thực A thỏa AX1 = X2, AX2 =
X3, AX3 =X1.
Bài 4.5(HV Bưu chính Viễn thông). ChoP1(x), P2(x), ..., Pr(x)là các đa thức bậcn1, n2, ..., nr.Chứng minh rằng nếu
n1 +n2+...+nr < r(r−1) 2
thìP1(x), P2(x), ..., Pr(x)phụ thuộc tuyến tính.
Bài 4.6(ĐH Công nghệ thực phẩm Tp. HCM). ChoAlà ma trận đường chéo cấpn trênRcó đa thức đặc trưng là
p(t) = (x−c1)r1(x−c2)r2. . .(x−ck)rk,
với ci 6= cj,∀i 6= j. Gọi V là không gian các ma trận B ∈ Mn(R) sao cho
AB =BA. Chứng minh rằngdimV =r2
1 +r2
2 +· · ·+r2
k.
Bài 4.7 (Dự bị). Một đa thức theo n biến x1, x2, . . . , xn được gọi là thuần nhất bậcdnếu tổng các số mũ của các biến trong từng đơn thức của đa thức đó bằngd. Ví dụx2
1x3 2+x5
3là đa thức thuần nhất bậc5theo ba biếnx1, x2, x3. Tìm số chiều của không gian véc tơ thực bao gồm đa thức0 và các đa thức thuần nhất bậcdtheonbiến với hệ số thực.
Bài 4.8(Dự bị). ChoV là một không gian véctơn chiều trên trường số thực vàf là một tự đồng cấu tuyến tính củaV. Với mỗi số nguyên không âmk, kí hiệufk hợp thành k lần củaf với chính nó (như vậyf0 =IdV, f1 =f, f2 =
f◦f, . . .. Chứng minh rằng
1. Tồn tại một số nguyên không âmm ≤nsao cho
Im f0 )Im f1 )Im f2 )· · ·)Im fm=Im fm+1 =Im fm+2 =· · ·
ker f0 (ker f1 (ker f2 (· · ·(ker fm = ker fm+1 = ker fm+2 =· · ·
2. {dim kerfk+1−dim kerfk}k=0,1,... là một dãy số giảm; 3. V = kerfm⊕Im fm;
38
4. Mọi ma trận vuông cấpn với hệ số thực đều tương đương với một ma
trận có dạng N 0
0 C
, trong đó N là ma trận vuông luỹ linh và C là ma trận vuông khả nghịch.
Bài 4.9 (Dự bị). Cho một tập hợp X. Ta trang bị cho không gian F(X,R)
cấu trúc R-không gian véctơ cảm sinh từ cấu trúc không gian véctơ của R. Chon ≥ 1phần tử f1, . . . , fn ∈ F(X,R). Chứng minh rằng f1, . . . , fn là một họ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tồn tạin phần tửx1, . . . , xn∈X sao cho ma trận(fi(xj))1≤i,j≤n là khả nghịch.
Bài 4.10(Dự bị). 1. Chof là một tự đồng cấu tuyến tính của không gian
Cn. Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương i) f chéo hoá được;
ii) f2 chéo hoá được vàkerf = kerf2.
2. Tìm điều kiện cần và đủ trên bộ các số phức(a1, . . . , an)để ma trận
0 0 · · · an 0 0 · · · 0 ... ... · · · ... 0 a2 · · · 0 a1 0 · · · 0
chéo hoá được?
Bài 4.11(ĐH Đồng Tháp). ChoV là một không gian véc tơ trên một trường
K. ChoF1, F2, . . . , Fn(n ∈N, n ≥1)là các không gian con hữu hạn sinh của
V. Chứng minh rằng
dim(F1+F2+· · ·+Fn)≤dimF1+ dimF2+· · ·+ dimFn.
Hơn nữa, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khiF1 +F2+· · ·+Fn là tổng trực tiếp trongV.
Bài 4.12(ĐH Ngoại Thương - Hà Nội). ChoV1, V2, V3là ba không gian véc tơ con của không gian véc tơ2014chiều V trên trường số thựcR. Chứng minh rằng nếudimV1+ dimV2+ dimV3 >4028thìV1∩V2∩V3 6= 0.
Bài 4.13(ĐH Nông nghiệp Hà Nội). ChoE là mộtR-không gian véctơ hữu hạn chiều và một tự đồng cấuucủaEgọi là lũy linh nếu có số nguyên dương
k đểuk = 0. Ta định nghĩa bậc lũy linh của một tự đồng cấu lũy linhu là số nguyên dươngpbé nhất màup = 0.
Choulà một tự đồng cấu lũy linh bậcp. Chứng minh rằng tồn tại một véctơ