1 Tích phân mặt loại I
1.2Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I
Cho mặt cong Strơn, cho bởi phương trình tham số
r(u,v) = x(u,v).~i+y(t).~j+z(t).~k, (u,v)∈ D⊂R2
Hơn nữa, giả sử trên S có phân phối một khối lượng vật chất với mật độ (hay tỉ trọng bề mặt) tại điểm(x,y,z)làρ(x,y,z), trong đóρ(x,y,zlà một hàm số liên tục trênS. Hãy tính khối lượng mặtS.
[Lời giải] Tương tự như cách tính diện tích mặt S, ta chia miền Dthành các miền con bằng các đường song song với các trục tọa độ trong mặt phẳng Ouv. Khi đó mặt S được chia thành các mặt conSij và diện tích của nó được xấp xỉ bởi
S(Sij) ≈ |ru∧rv|∆u∆v.
Do tính liên tục củaρ, nếu ta chia miềnD thành các miền khá nhỏ thì miềnSij cũng khá nhỏ và ta coi hàm ρ không đổi trên Sij và bằng ρ(x(u∗i,v∗j),y(ui∗,vj∗),z(u∗i,v∗j)) = ρ(Pij∗). Khi đó khối lượng củaSij là
Khối lượng của toàn bộ mặtS là m(S) ≈ n ∑ i=1 m ∑ j=1 ρ(Pij∗)|ru∧rv|∆u∆v
Đây chính là tổng Riemann của tích phân kép ZZ D
f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|ru ∧rv|dudv. Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 5.10. Cho mặt cong Strơn, cho bởi phương trình tham số r(u,v) = x(u,v).~i+y(t).~j+z(t).~k, (u,v) ∈ D ⊂R2,
và f là một hàm số xác định trên S. Nếu tồn tại tích phân
ZZ
D
f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|ru∧rv|dudv
thì ta gọi giá trị của tích phân này là tích phân mặt loại I của hàm f lấy trênSvà kí hiệu
là ZZ
S
f(x,y,z)dS.
Ngoài ra, người ta có thể định nghĩa tích phân mặt loại I như sau:
Định nghĩa 5.11. Cho hàm số f(x,y,z)xác định trên mặt congS. Chia mặt congSthành n mặt nhỏ ∆S1,∆S2, . . . ,∆Sn. Trên mỗi ∆Si lấy một điểm Mi bất kì. Giới hạn, nếu có, của
n
∑
i=1
f(Mi)∆Si khin →∞và max
1≤i≤nd(∆Si) →0không phụ thuộc vào cách chia mặt congSvà cách chọn các điểm Mi được gọi là tích phân mặt loại I của hàm số f(M) trên mặt congS,
kí hiệu là ZZ
S