Giả sử C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H, và hàm f :C×C →R thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C; hàm f như vậy được gọi là song hàm cân bằng (equilibrium bifunction). Bài toán cân bằng (hay còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan (xem [27]) là bài toán:
Tìm x∗ ∈C sao cho f(x∗, y)≥0, ∀y∈C. (1.2) Bài toán cân bằng liên kết với (1.2) được gọi là bài toán Minty, được phát biểu như sau:
Tìm y∗∈C sao cho f(x, y∗) ≤0, ∀x∈C. (1.3) Ký hiệu các bài toán (1.2), (1.3) tương ứng là EP(C, f), MEP(C, f) và các tập nghiệm của chúng lần lượt là Sol(C, f), SM.
Bài toán cân bằng có dạng khá đơn giản, nhưng bao hàm nhiều lớp bài toán quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực thực tiễn khác nhau như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác ..., nó coi các bài toán này như những trường hợp riêng đặc biệt và hợp nhất chúng theo một phương pháp nghiên cứu chung rất tiện lợi. Nhiều kết quả của các bài toán nói trên có thể mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điều chỉnh phù hợp và do vậy thu được nhiều ứng dụng rộng lớn. Nhiều nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng, các bài toán thực tế như tối ưu, kinh tế và kỹ thuật có thể được miêu tả thành các bài toán cân bằng tương ứng. Điều đó đã giải thích được tại sao bài toán cân bằng được rất nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Trong phần này, chúng tôi chỉ nhắc lại một số nét chính về khái niệm bài toán cân bằng và một số trường hợp riêng cũng như điều kiện tồn tại nghiệm của nó.
Sau đây là một số ví dụ về những bài toán quen thuộc có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng.