10. Cấu trúc của luận văn
I.5. Kết luận chương
Như vậy, bằng các thủ thuật biến đổi toán học, tôi đã lần lượt chứng minh được tính duy nhất nghiệm của một số phương trình như: Phương trình dao động sợi dây, hệ phương trình Maxwell, phương trình Poisson và Laplace cho điện và từ. Đây là bốn phương trình tổng quát và quan trọng trong điện, từ trường và cơ học. Nó thể hiện mọi sự biến đổi, phân bố và mối quan hệ của các đại lượng trong trường đang xét. Do đó, nếu bằng phương pháp, cách thức nào đó chúng ta tìm được trường sao cho mọi tính chất, đắc điểm của trường này trùng với trường đang xét ban đầu thì đó chính là nghiệm của bài toán mà chúng ta mong muốn ban đầu.
Phương pháp thay thế trường của các hệ tạo ra là phương pháp phổ biến để thực hiện được kết quả này. Nếu hình ảnh trường, quỹ đạo của vật đang tìm trùng với hình ảnh trường và quỹ đạo của một số bài toán đơn giản thì ta hoàn toàn có thể thay thế để làm đơn giản lời giải cho bài toán. Đây chính là cơ sở của phương pháp ảnh được trình bày ở chương 2 của luận văn.
19
CHƯƠNG II. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP ẢNH II.1. Phương pháp ảnh điện
II.1.1. Điều kiện áp dụng phương pháp ảnh điện
Về mặt lý thuyết, bằng các công cụ toán học, cho phép chúng ta có thể tính toán được điện thế tĩnh tại điểm bất kỳ bên trong trường, khi điện tích và sự phân cực điện môi được xác định hoàn toàn. Tuy nhiên, trên thực tế việc này cực kỳ khó khăn và phức tạp. Thông thường, ta giải quyết các bài toán một số điện tích đặt bên ngoài vật hoặc vật đặt trong một trường nào đó, do hiện tượng cảm ứng điện, sự phân cực của các chất điện môi và sự phân bố điện tích bề mặt trên vật dẫn phải được xác định, sao cho thỏa mãn các điều kiện biên trên các bề mặt không liên tục.
Các bài toán tĩnh điện của dạng này, chúng ta có thể chia làm hai loại chính: bài toán với biên đồng nhất và không đồng nhất. Để minh họa cho bài toán với biên đồng nhất, chúng ta xét một dây dẫn cô lập được nhúng trong chất điện môi. Một điện tích được đặt lên dây dẫn, điện tích này ngay lập tức phân bố đều trên bề mặt dây dẫn và gây ra điện thế toàn không gian. Khi đó mọi điểm bên ngoài dây dẫn, điện thế phải thỏa mãn phương trình Laplace. Điện thế này phải bằng không ở vô cực và trên bề mặt của vật dẫn nó phải có giá trị không đổi. Những điều kiện này là đủ để xác định thế duy nhất mà luận văn đã trình bày ở mục (1.4). Mật độ của điện tích bề mặt dây dẫn có thể được xác định theo công thức =0, với điều kiện
S
da Q
=
, trong đó S là diện tích xung quanh dây dẫn, Q là điện tích đặt vào dây dẫn.
20
Với biên không đồng nhất, chúng ta có thể xét trường hợp chất điện môi hoặc vật dẫn được đặt vào điện trường cố định của các nguồn bên ngoài. Dưới tác dụng của hiện tượng hưởng ứng điện, một điện tích được tạo ra trên bề mặt của vật dẫn sẽ tự phân bố sao cho điện thế do nó sinh ra là không đổi trên bề mặt của nó. Tương tự như vậy, sẽ tạo ra trong các chất điện môi một sự phân cực và trường do nó sinh ra sẽ chồng lên trường ngoài, hình thành một trường mới thỏa mãn các điều kiện biên.
Tóm lại, mọi bài toán tương tác điện có biên thì chúng phải thỏa mãn tính liên tục của trường. Khi đó thế vô hướng phải thỏa mãn các điều kiện sau đây.
1. 2
0
= tại mọi điểm nằm trên mặt biên hoặc các điểm bên ngoài nguồn.
2. liên tục ở mọi nơi, kể cả ranh giới của chất điện môi hoặc chất dẫn điện.
3. là hữu hạn ở mọi nơi, ngoại trừ tại các điện tích điểm bên ngoài được coi là nguồn điểm.
4. 1 2 1 2 n n =
trên mọi bề mặt liên kết hai chất điện môi.
5. hs
n
=
tại mặt phân cách của vật dẫn và chất điện môi.
6.Trên bề mặt của một vật dẫn điện (a) là một hằng số i đã biết, hoặc
(b) là một hằng số n chưa biết và i S da q n = − .
Ở đây, để đơn giản, tôi đã giả định rằng các chất điện môi là đẳng hướng và đồng nhất. Điều kiện (4) thỏa mãn với điều kiện ranh giới của hai lớp điện môi không mang điện tích, điều này luôn đúng với các lớp điện môi mà chúng ta đã biết. Điều kiện (5) có thể xét biên giữa dây dẫn và điện môi như ví dụ ở trên.
21
Như vậy, tính chất của thế tĩnh điện phải thỏa mãn các điều kiện biên ở trên và phương trình toán học Laplace trong các vùng không gian tự do, tạo thành một tiêu chí chặt chẽ, để thiết lập tính đúng đắn của các phương trình biểu diễn thế tĩnh điện trong vùng không gian tự do không có điện tích. Thật vậy, theo như những tính chất này, tất cả những gì chúng ta cần làm là thiết lập một biểu thức cụ thể, đặc trưng cho thế tĩnh điện trong vùng không gian tự do, các biểu thức này phải thoả mãn phương trình Laplace trong toàn vùng đó và thoả mãn các điều kiện biên ở ranh giới các miền. Do đó, nếu bằng bất kỳ loại thủ thuật toán học, kỹ xảo hoặc trực giác nào, chúng ta tìm thấy một biểu thức cho thế tĩnh điện, mà trong một vùng không gian không có điện tích, thỏa mãn phương trình Laplace và phù hợp với tất cả các điều kiện biên được yêu cầu ở trên. Chúng ta có thể chắc chắn rằng, biểu thức này là đúng và thế vô hướng được đại diện bởi nó, trong những điều kiện biên này, là thế vô hướng duy nhất có thể có trong miền đó. Hay nói cách khác, nếu một bài toán về xác định thế tĩnh điện trong vùng không có điện tích, được coi là đã giải được nếu chúng ta thu được một biểu thức thỏa mãn các điều kiện trên, bất kể biểu thức đó đã thu được bằng thủ thuật hay thao tác nào.
Theo như giáo trình “Electricity and Magnetism” của tác giả Oleg D. Jefimenko, xuất bản năm 1964 [15], có trình bày cho chúng ta năm phương pháp khác nhau, để đưa ra biểu thức toán phù hợp với những lập luận trên như phương pháp hàm Harmonics, phương pháp ảnh điện, phương pháp axial expansion (khai triển trục), phương pháp curvilinear squares (hình vuông cong) và phương pháp configuration coefficients (hệ số cấu hình). Trong khuôn khổ của luận văn này, tôi chỉ trình bày và thảo luận về phương pháp ảnh điện.
22
II.1.2. Phương pháp ảnh điện
Như chúng ta đã biết, thế năng của một phân bố điện tích tùy ý, phải thỏa mãn phương trình Laplace trong một vùng không gian nhất định, miễn là sự phân bố điện tích nằm ngoài vùng đang xét. Do đó, nếu chúng ta tìm ra một sự sắp xếp của sự phân bố điện tích bên ngoài vùng đó, sao cho điện thế tổng hợp, nó thỏa mãn các điều kiện biên ở trên ranh giới của một vùng không gian tự do không có điện tích, thì theo các định lý về tính duy nhất nghiệm, thế năng kết hợp này sẽ là giá trị chính xác cho vùng này, ngay cả khi trong thực tế, điện thế trong vùng được tạo ra theo tỷ lệ, không phải do các phân bố điện tích này, mà bởi một hệ thống tĩnh điện hoàn toàn khác. Vì vậy, với mục đích tính toán thế tĩnh điện, người ta có thể thay thế một hệ tĩnh điện thực hoặc một phần của nó bằng một tập hợp các phân bố điện tích ảo mà điện thế tổng hợp thỏa mãn các điều kiện biên của hệ thực. Các phân bố điện tích ảo này được gọi là phân bố ảnh, hoặc ảnh điện, và phương pháp tìm điện thế của một hệ tĩnh điện bằng các phân bố điện tích ảo đó được gọi là phương pháp ảnh.
Không có phương pháp phổ biến nào để thu được điện tích ảnh cho các hệ tĩnh điện tùy ý. Do đó, điện tích ảnh chủ yếu được tìm thấy bằng cách kiểm tra, thử nghiệm và xác nhận xem chúng có thỏa mãn các điều kiện biên yêu cầu ở trên hay không. Sau thời gian nghiên cứu, bản thân tôi nhận ra rằng, phương pháp ảnh điện này chủ yếu áp dụng cho hệ điện tích với vật dẫn hoặc điện môi phẳng, hoặc hệ điện tích với vật dẫn và điện môi hình cầu, chúng là những vật có tính đối xứng cao và phù hợp với hình dạng mặt đẳng thể của một số hệ điện tích điểm mà ta đã biết. Để áp dụng phương pháp ảnh điện, chúng ta làm như sau:
Bước 1: Xem xét các điều kiện biên trình bày ở mục 2.1.1 có thoả mãn
23
Bước 2: Từ hình dạng của vật tìm xem có hệ điện tích nào tạo ra được mặt
đẳng thế trùng với hình dạng của vật đó (vật dẫn). Đây là bước cực kỳ quan trọng khi áp dụng phương pháp ảnh, vì nếu không tìm được hệ điện tích tạo ra mặt đẳng thế trùng với hình dạng của vật thì bài toán không thể áp dụng được phương pháp ảnh.
Bước 3: Từ các điều kiện thoản mãn ở mục 2.1.1, chúng ta sẽ tìm được vị trí
và độ lớn của điện tích ảnh, từ đó tìm được các đại lượng cần tìm của hệ ban đầu, thông qua hệ điện tích và ảnh của nó.
Để làm rõ hơn các bước này, tôi sẽ trình bày một số bài toán ở chương 3 của luận văn.
II.2. Phương pháp ảnh từ
II.2.1. Điều kiện áp dụng ảnh từ
Trong những trường hợp vật thể mang dòng điện, trường bên trong không thể được biểu diễn bằng thế vô hướng và giá trị biên phải được giải quyết dưới dạng thế vectơ. Ta có thể xét ví dụ sau, một dây dẫn làm bằng sắt mang dòng điện được đưa vào từ trường bên ngoài. Sự phân bố của dòng điện ở trạng thái tĩnh bị ảnh hưởng bởi từ trường. Thế vectơ do từ trường ngoài sinh ra là A1, trong khi đó thế vectơ do dòng điện cảm ứng (do sự từ hóa của vật liệu sắt khi đặt trong từ trường) và dòng điện ban đầu của nó được ký hiệu là A1. Tương tư như thế vô hướng , thế vectơ A1 này phải tuân theo các điều kiện sau:
1. A1 =1j, tại mọi điểm bên trong dây dẫn.
2. A1=0, tại mọi điểm bên ngoài dây dẫn.
24
4. A1 là hữu hạn và liên tục tại mọi nơi, bao gồm biên của dòng điện.
5.Tại biên của hai môi trường, thành phần pháp tuyến của A1, cung như tính liên tục của A1 phải thỏa mãn điều kiện.
1 1 ( ) 0 A A M M n n n + − + − − = −
Với n là vec tơ pháp tuyến, M− mômen từ phân cực của dây dẫn, M+ là mômen từ ngay bên ngoài biên.
6. ( ) 2 1 0 n H H n B B + − + − − = − =
, tại biên của mặt phân cách.
7.Khi r→ thì A1 vẫn có giá trị hữu hạn.
Ở đây, điều kiện (1) và (2) chính là các phương trình Poisson và Laplace của từ trường, nó thoả mãn với mọi điểm bên trong và trên đường cong kín C. Phương trình (3) thể hiện trường từ không có nguồn, phương trình (5), (6) thể hiện tính liên tục của thế vectơ A1 khi đi qua mặt biên của hai môi trường. Bảy điều kiện này, tạo thành một hệ đủ và xác định trường từ trong môi trường.
II.2.2. Phương pháp ảnh từ.
Như vậy, tương tự với phương pháp ảnh điện, thế vectơ cũng phải thoả mãn các điều kiện biên. Do đó, khi một hệ tương tác giữa dòng điện và vật thoản mãn các điều kiện này ta hoàn toàn áp dụng được phương pháp ảnh từ.
Ta có thể thay thế tương tác của dòng điện với một môi trường có độ từ thẩm lớn bằng tương tác của dòng điện đó với dòng điện ảnh. Sao cho thế vectơ và các điều kiên biên trên là duy nhất, không đổi. Như trong trường hợp tĩnh điện, ảnh phải ảo, ảnh phải nằm bên trong môi trường từ thẩm. Một quan điểm khác của
25
trường tĩnh từ là coi các nguồn của nó là lưỡng cực từ, khi đó tương tác của chúng có thể xem tương tự như tương tác Cu-lông. Tôi sẽ làm rõ vấn đề này ở bài toán 2 mục 2.3.
Tuy nhiên, khác với phương pháp ảnh điện, phương pháp ảnh từ còn nhiều điểm gây tranh luận, gây khó khăn rất lớn cho các nhà nghiên cứu, giáo viên và học sinh. Nếu chúng ta coi rằng tất cả các nguồn của trường này là dòng điện, chúng ta phải xác định dòng điện bề mặt j trong vật liệu từ tính. Tuy nhiên, về mặt vật lý, sẽ không có dòng điện như vậy chạy qua. Dòng điện này sẽ phải lớn nhất tại điểm gần dây dẫn bên ngoài, nhưng nếu vật liệu từ tính là sắt, có cấu trúc miền, sẽ không có tác dụng gì cả tại điểm này. Mặt khác, nếu tất cả các nguồn của từ trường đều là các cực từ, thì chúng ta phải thay thế bằng một vỏ từ tính mạnh, điều này chỉ đưa ra trên lý thuyết, thực tế chúng ta không thể làm được như vậy.
Chính những điều trên đã gây ra không ít khó khăn cho giáo viên và học sinh. Vì vậy, phương pháp ảnh từ này vẫn chưa được nhiều giáo viên và học sinh biết đến. Trong khuôn khổ luận văn này, tôi sẽ trình bày một số bài toán ảnh từ ở mức đơn giản, để giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn tổng quan hơn về phương pháp ảnh từ.
II.3. Kết luận chương
Như vậy, trong chương này của luận văn, tôi đã đưa ra được các điều kiện cần thoả mãn để áp dụng được phương pháp ảnh, đó là thế phải thoả mãn các điều kiện liên tục và xác định tại mọi điểm bên trong trường. Khi đó, ta có thể thay thế tương tác của điện tích và vật hoặc tương tác của dòng điện và vật bằng
26
tương tác của hệ hại điện tích điểm hoặc hai dòng điện. Đây là nhưng hệ mà ta dễ dạng tìm được lời giải.
Tôi đã chỉ ra được các bước để áp dụng phương pháp ảnh, trong đó bước thứ 2 là xem xét, thử nghiệm để chọn trường thay thế đóng vai trò quyết định phương pháp ảnh có áp dụng được hay không. Qua quá trình nghiên cứu, tôi thấy rằng phương pháp ảnh này chỉ áp dụng giới hạn trong một số trường hợp đặc biết như: tương tác của điện tích và vật dẫn, điện môi hình phẳng, hoặc hình cầu; tương tác của dòng điện với vật dẫn điện có dạng hình phẳng hoặc hình cầu.…Đây là những dạng vật dẫn có tính đối xứng cao và trường do nó sinh ra tương tự như trường sinh ra bởi hai điện tích điểm và hai dòng điện đặt song song. Tôi sẽ trình bày một số bài toán minh hoạ ở chương 3 của luận văn.
27
CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ẢNH TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ PHỔ THÔNG
Như hai chương đầu của luận văn, tôi đã trình bày về tính duy nhất nghiệm của các phương trình toán, từ đó tôi đã xây dựng tổng quan về phương pháp ảnh điện và ảnh từ. Các điều kiện cần thỏa mãn về thế khi áp dụng phương pháp ảnh. Trong nội dung của chương này, tôi sẽ trình bày một số bài toán ảnh điện và ảnh từ thường xuyên xuất hiện trong các tài liệu ở THPT và biện luận các điều kiện thoả mãn của nó khi áp dụng phương pháp ảnh.
III. 1.Bài toán tương tác điện tích với vật dẫn
Đây là dạng bài toán cơ bản nhất về phương ảnh điện, bởi vật dẫn có nhiều tính chất đặc biệt về phân bố điện tích, điện thế, cũng như điện trường như điện tích chỉ tập trung ở bề mặt vật dẫn, vật dẫn là mặt đẳng thế và điện trường bên