Dạng tổng quát của một hệ đại số tuyến tính

Mô ̣t hê ̣ đa ̣i số tuyến tính có thể có m phƣơng trình n ẩn . ở đây ta chỉ xét những hệ có n phƣơng trình ẩn:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = f1 a21x2 + a22x2 + ... + a2nxn = f2 ... ...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = fn

Trong đó: aij là hệ số của ẩn xj của phƣơng trình i , fi là vế phải của phƣơng trình thứ i . Giả sửa đã biết aij và fi ta phải tìm các ẩn xj.

Ma trâ ̣n

(3.2)

Gọi là ma trận hệ số của hệ (3.1). Các vectơ:

(3.3)

Đƣợc gọi l à vectơ vế phải và vectơ ẩn của hệ. Sau này để tiết kiê ̣m giấy, thay cho cách viết trên ta có thể viết.

f = (f1, f2, ... fn)T, x = (x1, x2, ..., xn)t.

Biết rằng tích của ma trâ ̣n A với vectơ x, viết là Ax, là một vectơ có tọa độ thứ i là:

Đó chính là vế trái của phƣơng trình thƣ́ i của hê ̣ (3.1)

Vâ ̣y hê ̣ (3.1), có thể viết ở dạng vectơ hay dạng ma trận nhƣ sau:

Ax - f (3.4).

45

2. Sƣ̣ tồn ta ̣i và duy nhất nghiê ̣m của hê ̣

Gọi định thức của ma trận A là định thức của hệ , viết là  :  = det (A). Nếu  = 0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (3.1), tƣ́c là (3.4) là hệ suy biến.

Gọi i là định thức suy từ  bằng cách thay cô ̣t thƣ́ i bởi cô ̣t vế phải. Ta có đi ̣nh lý sau: Đi ̣nh lý 3.1. (Crame): Nếu   0 tƣ́ c là nếu hê ̣ không suy biến thì hê ̣ (3.1) có nghiệm duy nhất cho bởi công thƣ́c:

3. Chú thích:

Kết quả này rất go ̣n và rất đe ̣p về mă ̣t lý thuyết nhƣng tính nghiê ̣m bằng công thƣ́c (3.5) rất đắt nghĩa là mất rất nhiều công , số các phép tính sơ cấp (+, -, x, : ) cần thiết là vào cỡ (n + 1)! n. Ký hiệu số đó là Nc(n) ta có :

NC(n)  (n + 1)!n

Với n = 15 ta có NC(15)  3.1014. Đây là mô ̣t số rất lớn . Sau đây ta trình bày mô ̣t phƣơng pháp khác tiết kiê ̣m đƣợc công tính rất nhiều. đó là phƣơng pháp Gaoxơ.

46

6.2. Phƣơng phá p Gaoxơ (Gauss) 1. Phƣơng pháp Gaoxơ 1. Phƣơng pháp Gaoxơ

Phƣơng pháp gaoxơ dùng cách khƣ̉ dần các ẩn để đƣa hê ̣ đã cho về mô ̣t hê ̣ có da ̣ng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ dƣới lên trên, không phải tính mô ̣t đi ̣nh thƣ́c nào.

Lấy mô ̣t thí dƣ̣ đơn giản: xét hệ 2x1 + x2 = 1

4x1 + 6x2 = 3

Khƣ̉ x1 khỏi phƣơng trình thứ hai ta đƣợc 2x1 + x2 = 1

4x2 = 1

Hê ̣ này có da ̣ng tam giác. Giải nó từ dƣới lên ta đƣợc x2 = 0,25

x1 = (1 - x2)/2 = 0,375

Ta thấy rằng cách giải bài toán cũng khá đơn giản . Nhƣng nếu hệ có nhiều phƣơng trình nhiều ẩn thì vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều.

Để trình bày phƣơng pháp gaoxơ cho dễ hiểu ta chỉ xét hê ̣ gồm 3 phƣơng trình 3 ẩn để suy ra các thƣ́c tính, các công thức này suy rộng đƣợc cho trƣờng hợp n phƣơng trình n ẩn

Xét hệ:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 (3.6a) a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 (3.6b) a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 (3.6c) Hê ̣ tam giác mà ta mong muốn có da ̣ng

x1 + b12x2 + b13x3 = b14

x2 + b23x3 = b24 x3 = b34

Các số hạng ở vế phải ta viết là ai4 và bi4 là cốt để viết các công thức sau này tiện lợi. Quá trình khử để đƣa hệ (3.6) về da ̣ng (3.7) gọi là quá trình xuôi ; quá trình giải hệ (3.7) gọi là quá trình ngƣợc.