B vừa là cơ sở gốc vừa là cơ sở đối ngẫu.

- Ghi chú: Đọc các tài liệu tham khảo 1,2,3,

d) B vừa là cơ sở gốc vừa là cơ sở đối ngẫu.

Hãy xét trường hợp d: B vừa là cơ sở gốc: xJ=B-1b≥0, B vừa là cơ sở đối ngẫu: AT y ≤ c với y=(B-1

)TcJ. Ta thấy rằng với y=(B-1

)TcJ thì điều kiện ATy≤c tương đương với điều kiện  k 0,k1,n. Điều này có nghĩa là B là cơ sở tối ưu của cả cặp bài toán đối ngẫu và do đó xJ = B-1b ≥ 0 là giá trị của các biến cơ sở của phương án tối ưu.

3.3.2 Ý tƣởng của thuật toán đơn hình đối ngẫu

Thuật toán đơn hình xuất phát từ việc tìm một cơ sở gốc B, thường chưa phải là tối ưu nghĩa là B chưa phải cơ sở đối ngẫu, sau đó ta tìm cơ sở gốc B1, rồi cơ sở gốc B2… sao cho cuối cùng đạt được cơ sở tối ưu B* (nếu có), khi đó B* vừa là cơ sở gốc, vừa là cơ sở đối ngẫu.

Thuật toán đơn hình đối ngẫu thực hiện theo hướng ngược lại. Đầu tiên là tìm một cơ sở đối ngẫu B, thường chưa phải là tối ưu, nghĩa là B chưa phải là một cơ sở gốc, sau đó ta tìm cơ sở đối ngẫu B1, rồi cơ sở đối ngẫu B2… sao cho cuối cùng đạt được cơ sở tối ưu B* (nếu có); tức là tìm được một cơ sở vừa là đối ngẫu, vừa là cơ sở gốc.

3.3.3 Bảng đơn hình đối ngẫu và tiêu chuẩn tối ƣu

Giả sử tìm được B=(Aj)jJ là một cơ sở đối ngẫu; trong đó Aj là các vecto cột của ma trận A và ||J||=m. Lần lượt tính các đại lượng B-1

, H= B-1A, xJ =B-1 b và các số kiểm tra ∆k với kJ.

Đổi tiêu đề cột thứ 3 “xJ“ trong bảng đơn hình bởi “xJ ” (x được gọi là giả phương án) và bỏ cột “hJ” thì ta được bảng đơn hình đối ngẫu. Trong bảng đơn hình đối ngẫu, các số   k 0, k; còn các số ở cột xJ (jJ) không nhất thiết phải thỏa mãn xJ ≥0 với j J.

Nếu xJ ≥0 j J nghĩa là xJ = B-1 b ≥ 0 thì B là cơ sở gốc, có nghĩa là B là cơ sở tối ưu và xJ=xJ . Vậy tiêu chuẩn tối ưu của thuật toán đơn hình đối ngẫu là: xJ ≥ 0.

3.3.4 Cải tiến phƣơng án

Nếu  xj 0thì B không phải là cơ sở tối ưu, ta cần tìm cơ sở đối ngẫu B1 chỉ khác B bởi đúng một vector, nghĩa là:

   1 \ p q , 1 \ p q ,

Làm như thế ta vẫn sử dụng được các quy tắc chuyển bảng của thuật toán đơn hình. Vấn đề đặt ra ở đây là phải chọn các vector Ap và Aq như thế nào để B1 vẫn là cơ sở đối ngẫu.