i·u ki»n õ: N¸uABCD khæng nëi ti¸p, gi£ sû ¿nh An¬m b¶n ngo i ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c BCD.
Gåi A′ l iºm m ÷íng ch²o AC ct ÷íng trán.
Khi â B\′AD ≡ Ab′ > Ab ≡ \BAD (h¼nh 2.16), k²o theo cosA′ = −cosC v¼ cosin ang gi£m tr¶n o¤n [0, π].
Do â cosA′ = cosC v¼ A′BCD nëi ti¸p, n¶n cosA > −cosC. Ta câ ành lþ cosin
b2 +c2 −2bccosC =a2 +d2 −2adcosA < a2+d2 + 2adcosC; Do vªy
cosC > b
2 +c2 −a2 −d2 2(ad+bc) .
L m t÷ìng tü trong ph¦n chùng minh trüc ti¸p, ta nhªn ÷ñc cosC
2 >
r
(s−a)(s−d) ad+bc èi vîi Ab, nâ cho r¬ng cosC > −cosA, n¶n
32 Do â a2 +d2 −b2 −c2 <2(ad+bc) cosA v ta ÷ñc cos A 2 > r (s−b)(s−c) ad+bc .
èi vîi hai gâc cán l¤i, câ B >b Bc′ ≡ CBA\′ v D >b Dc′ ≡ CDA\′ (h¼nh 2.16). Khi â
b
B+D >b cB′+cD′ =π Theo â
cosD < cos(π−B) = −cosB Ta ÷ñc
a2 +b2 −2abcosB > c2+d2+ 2cdcosB Tø â a2 +b2 −c2 −d2 > 2(ad+cd) cosB V¼ th¸ cosB < a 2+b2−c2 −d2 2(ab+cd ⇒ cos B 2 < r (s−c)(s−d) ab+cd T÷ìng tü, ta câ cos D 2 < r (s−a)(s−b) ab+cd
Khi ¿nh A n¬m b¶n trong ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c BCD, th¼ t§t c£ b§t ¯ng thùc £o ng÷ñc, ho n th nh chùng minh.
33
2.5. Mët sè k¸t qu£ li¶n quan ¸n ÷íng ch²oM»nh · 2.19. Tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p khi v ch¿ khi M»nh · 2.19. Tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p khi v ch¿ khi
AB.sin\CAD+AD.sinCAB[ =AC.sinBAD\
Chùng minh.
i·u ki»n c¦n: Trong tù gi¡c nëi ti¸p ABCD vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p b¡n k½nh R, câ
CD = 2R.sin\CAD BC = 2R.sinCAB[
BD = 2R.sin\BAD ÷a v o ành lþ Ptolemy, ta câ
AB.CD+BC.AD = AC.BD
⇔ AB.2R.sin\CAD+ 2R.sinCAB.AD[ = AC.2R.sin\BAD ⇔ AB.sin\CAD+AD.sinCAB[ = AC.sin\BAD
i·u ki»n õ: Ng÷ñc l¤i, x²t ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABD.
Khi thay êi iºm C dåc tr¶n ÷íng ch²o AC, v¸ tr¡i cõa ¯ng thùc trong ành lþ khæng thay êi, v¸ ph£i cõa ¯ng thùc t«ng khiC di chuyºn b¶n ngo i ÷íng trán ngo¤i ti¸p v gi£m khi C di chuyºn trong ÷íng trán ngo¤i ti¸p M°t kh¡c, ta câ gâc ABD khæng êi (h¼nh 2.17).
V¼ vªy º ¯ng thùc cè ành, iºm C ph£i n¬m tr¶n ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABD, n¶n tù gi¡c ABCD nëi ti¸p.