C. BÀI TỐN TẤM CHỊU UỐN
1. Thiết lập cơ sở lý thuyết cho tấm trịn chịu tải trọng đối xứng theo tiêu
chuẩn chảy dẻo Von Mises
Ứng suất suy rộng và phương trình vi phân cân bằng
Hình 1 : ứng suất và ứng suất suy rộng trong phần tử tấm trịn a) ứng suất b) ứng suất suy rộng
Xét một phần tử tấm trịn vi phân như trên hình 1. Do tính chất đối xứng của kết cấu và tải trọng, các ứng suất cắt . Bởi vì tấm mỏng , tỉ số giữa bề dày tấm và bán kính R, xem như rất nhỏ, nên các ứng suất và khơng đáng kể so với và . Như thế trạng thái ứng suất của phân bố tấm trịn là trạng thái ứng suất phẳng với và là các ứng suất chính.
Các hợp lực của ứng suất trên các cạnh của phân bố là mơmen uốn hướng kính trên một đơn vị chiều dài, , và mơmen uốn hướng vịng trên một đơn vị chiều dài, .
, (1)
và là các ứng suất suy rộng của bài tốn uốn tấm trịn. Do tính chất đối xứng, chỉ cĩ một thành phần lực cắt Q xuất hiện:
(2)
và thành phần lực cắt này khơng được xem là ứng suất suy rộng mà chỉ xem là phản lực cần thiết cho phương trình vi phân cân bằng:
(3) (4)
Nếu sử dụng các biến khơng thứ nguyên: , , phương
trình vi phân cân bằng cĩ thể đặt dưới dạng: (5)
Lưu ý là các phương trình vi phân cân bằng kể trên chỉ cĩ giá trị đối với tấm mỏng trong phạm vi lý thuyết biến dạng nhỏ sao cho thành phần ứng suất theo phương z cĩ thể bỏ qua so với các ứng suất do uốn. Tuy nhiên, tấm khơng được quá mỏng sao cho chuyển vị w xem như nhỏ so với bề dày. Khi đĩ tính chất tuyến tính của lý thuyết uốn vẫn cịn được giữ.
* Tiêu chuẩn chảy dẻo
Do tính chất đối xứng, các mơmen , và , là các mơmen chính nên sử dụng tiêu chuẩn von Mises sẽ cĩ dạng:
(6) hay dưới dạng khơng thứ nguyên:
f = (7)
với :
, , (8)
trong đĩ và là những độ cong chính do tính đối xứng, hay theo biến khơng thứ nguyên:
,
Ta cĩ: ; (9)
Với w = w(r) là hàm hình dạng của tấm trịn. e: độ dày tấm.
* Năng lượng tiêu tán dẻo trên một đơn vị diện tích.
(10)
Viết theo biến khơng thứ nguyên và dùng cơng thức trên: (11)
Tiêu chuẩn Von Mises được áp dụng: với
(12) Định luật pháp tuyến suy rộng cĩ dạng:
(13) (14) Suy ra :
(15) Thay vào (54) ta được :
(16) Từ (15), (16), và (10) ta cĩ :
(17) Năng lượng tiêu tán trên tồn bộ tấm trịn (cơng suất nội):
b b
a a
q q
I/ Tấm trịn tựa đơn trên chu vi chịu tải phân bố trên vành
Cơng suất ngoại :
(19)
Hình 2 : Elíp Von Mises
1. Áp dụng vào bài tốn tấm trịn chịu uốn chịu tải trọng phân bố như hình
vẽ sau :
Dữ kiện: Dữ kiện hình
học Dữ kiện về tiêu Phuanchảy dẻo
ST T
a(m) b (m) STT Tresca Von Mises
1 1.5 1.0 2 +
Một cách trực quan ta cĩ thể chọn cơ cấu phá huỷ như 3. Đây là bài tốn chịu tải trọng đối xứng. Khi cơ cấu đạt chảy dẻo tại mép và tâm của tấm trịn thì các ứng suất lúc này tương ứng với điểm E trên Elíp Von Mises. Hay
hoặc viết theo mơmen là : tại mép và tâm của tấm. để đơn giản trong tính tốn ta xem độ cong theo hướng kính (xem cơ cấu là hai tấm cứng phẳng). Và độ cong theo hướng vuơng gĩc với hướng kính
w 0 w .
Hình 3 : Cơ cấu dầm
Năng lượng tiêu tán dẻo trên một đơn vị diện tích theo Von Mises theo cơng thức (17) :
(20)
Ta cĩ (21)
Tích phân (21) hai lần ta cĩ :
(22) Từ hình vẽ cơ cấu phá hủy ta cĩ :
(22)/
Dựa vào (8): (23)
Cơng của nội lực:
(24) Cơng suất ngoại theo (19):
(25) Cân bằng cơng suất nội và cơng suất ngoại :
=>
(26)
b. Phương pháp cận dưới:
Với 0 R b ta cĩ: (27) (28) Tại R=0 thì C=0 (29) Với b<R a: (30) (31) Từ (29) và (31) => R=b thì Thế (32) vào (31) (33) Tại R=a=1,5m : Từ (33) , (33) Từ (34) và (26) ta được:
E. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS.TS.BÙI CƠNG THÀNH . 2004 . Cơ Kết Cấu Nâng Cao .Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
2. PGS.TS.CHU QUỐC THẮNG.1997. Phương pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội.
3. W .F.CHEN & D.J. HAL . 1990 . Plastic For Structural Engineerings. Springger – Verlag N.Y .Inc .
4. W .F.CHEN & I.SOHAL . 1995 . Plastic Design And Second - Order Analysic Of