I/ Các bớc để giải một bài toán bằng cách lập phơng trình, Hệ phơng trình
4/ Tiếp tuyến của đờng tròn, dây cung của đờng tròn
*/ Qua một điểm nằm trên đờng tròn có một và chỉ một tiếp tuyến với đờng tròn đó đờng thẳng này vuông góc với đờng thẳng nói tâm với tiếp điểm.
*/ Qua một điểm nằm ngoài đờng tròn có hai tiếp tuyến với đờng tròn đó, khoảng cách từ điểm đó tới các tiếp điểm thì bằng nhau.
*/ Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau ⇔ nó cách đều tâm.
*/ Trong một đờng tròn hai dây cung khác nhau, dây lớn hơn ⇔ nó gần tâm hơn.
II/ Bài tậpBài 1 Bài 1
Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc đáy BC vẽ MD ⊥ AB và ME ⊥ AC. Trên tia BD và CE lần lợt lấy các điểm I, K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. a/ Chứng minh rằng bốn điểm A, D, M, E cùng thuộc một đờng tròn.
b/ Với vị trí nào của M trên đáy BC thì 4 điểm B, I, K ,C cùng thuộc một đờng tròn.
Giải
a/ Ta có D và E nhìnđoạn AM dới một góc vuông nên bốn điểm A, D, M, E cùng thuộc một đờng tròn đờng kính AM.
b/ MD là trung trực của BI nên MB = MI ME là trung trực của CK nên MC = MK Để 4 điểm B, I, K ,C cùng thuộc một đờng
tròn thì phải có MB = MI = MK = MC ⇒ M là trung điểm của BC.
Bài 2
Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD, M là trung điểm của đoạ OA, N là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, D thuộc một đờng tròn và DN > MC.
Giải
Gọi H là trung điểm của OC ⇒ ta có NH ⊥OC NH là đờng trung bình của ∆OBC ⇒ NH =
1 2OB và NH = OM = 1 2OA (vì OA = OB). Vậy ∆OMD = ∆HNM (vì MH = OD = 1 2AC
∠O = ∠H = 900, NH = OM) ⇒ ∠HMN = ∠ODM ⇒∠DMN = 900 ⇒ C, M nhìn DN dới một góc vuông ⇒
bốn điểm C, M, N, D thuộc một đờng tròn đờng kính DN.
DN > MC vì DN là đờng kính còn MC là dây cung của đờng tròn đi qua bốn điểm C, M, N, D.
Bài 3
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm P di động trên đờng tròn sao cho PA < PB. Dựng hình vuông APQR phía trong đờng tròn, tia PR cắt đờng tròn tại C.
AB C B C M E K I D A D C N B M H O
a/ Chứng minh rằng cung AC = cung CB
b/ Chứng minh rằng C là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQB
c/ Gọi O' là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác APB. Chứng minh rằng O' cũng thuộc đờng tròn qua A, Q, B.
Giải
a/ Ta có: ∠ABC = ∠APC = 450 ( cùng chắn cung AC )
⇒∆ACB vuông tại C có ∠B = 450⇒∆ACB cân tại C
⇒ CA = CB ⇒ cung AC = cung CB.
b/ Ta có: PC là đờng trung trực của AQ ⇒ CA = CQ kết hợp với câu (a) ⇒ CA = CQ = CB ⇒ C là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆AQB.
c/ O' là tâm đờng tròn nội tiếp ∆APB ⇒ O' thuộc đờng phân giác PC, vẽ đờng phân giác BO' ⇒ ta có: ∠BO'C =
∠O'BP + ∠O'PB (góc ngoài của ∆ bằng tổng hai góc trong không kề với nó) mà ∠O'BP = ∠O'BA, ∠O'PB =
∠ABC = 450⇒∠BO'C = ∠O'BA + ∠ABC = ∠O'BC ⇒∆O'CB là tam giác cân ⇒ CB = CO' ⇒ O' thuộc đờng tròn đi qua A, Q, B.
Bài 4
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB chứa nửa đờng tròn ngời ta kẻ tiếp tuyến Ax và một dây AC bất kỳ, tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng tròn tại D. Các tia AD và BC cắt nhau tại E.
a/ Chứng minh rằng ∆ABE cân tại B
b/ Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng EK ⊥ AB c/ Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh rằng tứ giác AKEF là hình thoi d/ Cho ∠BAC = 300. Chứng minh rằng AK = 2KC
Giải
a/ Ta có: ∆ABE cân tại B từ ∠A1 =∠A2
⇒ cung AD = cung DC ⇒∠B1 = ∠B2
⇒∆ABE cân tại E.
b/ ∆ABC có hai đờng cao AC và BD cắt nhau tại K ⇒ K là trực tâm ⇒ EK ⊥ AB. c/ Ta có:
FK ⊥ AE, ∆AFK cân tại A ⇒ AF = AC. FB là đờng trung trực của AE ⇒
AK = KE, EF = FA ⇒ AKEF là hình thoi.
d/ ∠BAC = 300⇒∠ABC = 600⇒∆ABE đều ⇒ K là trọng tâm ⇒ AK = 2KC. A P R C B Q O' E F A B C K D 1 2 2 1
C2: ∆ABC có BK là đờng phân giác ⇒ KC= BC =sin BAC∠ = ⇒1 AK 2KC=
KA BA 2
Bài 5
Từ một điểm ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó, gọi I là trung điểm của MN.
a/ Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, O, C thuộc một đờng tròn. b/ Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì? Tính cạnh BC.
c/ Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo R.
Giải
a/ ta có: B, I, C nhìn AO dới một góc vuông ⇒ 5 điểm A, B, I, O,C thuộc một đờng tròn. b/ Nếu AB = OB thì AB = AC = OB = OC ⇒ tứ giác ABOC là hình thoi.
Mặt khác: ∠ABO = 900⇒ ABOC là hình vuông ⇒ BC = OB 2=R 2. c/ π = π ữ = π ữữ = 2 2 2 1 2 R S BC R 2 2 2 ; = π ữ = π 2 1 C 2 BC R 2 2 . Bài 6
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là trung điểm của BC. Vẽ hai đờng tròn (O) và (O1) qua A sao cho chúng tiếp xúc BC tại B và C.
a/ Chứng minh rằng IA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn trên và hai đờng tròn này tiếp xúc với nhau.
b/ CMR: ∠OIO1 = 900 và đờng tròn ngoại tiếp ∆OIO1 tiếp xúc với cạnh BC.
Giải
a/ ∆IAO = ∆ICO (vì OA = OC, IO chung, IA = IC = BC/2). Do: IA = IC = BC/2 mà IC là tiếp tuyến
⇒ IA cũng là tiếp tuyến của (O). Tơng tự: IA cũng là tiếp tuyến của (O1)
⇒ IA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn trên và hai đờng tròn này tiếp xúc với nhau.
b/ Ta có: OA = OC, IA = IC ⇒ O thuộc đờng trung trực AC ⇒ IO ⊥ AC O1A = O1B, IA = IB ⇒ O1 thuộc đờng trung trực AB ⇒ IO1⊥ AB mà ∠BAC = 900⇒∠OIO1 = 900.
Bài 7
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính CD = 2R. Dựng Cx và Dy vuông góc với CD từ điểm E bất kỳ trên nửa đờng tròn dựng tiếp tuyến với đờng tròn cắt Cx tại P và cắt Dy tại Q
A B B O N C I M A B I C O O1
a/ Chứng minh rằng ∆POQ vuông, ∆POQ ∼∆CED, tính tích CP.PQ theo R b/ Khi PC = R/2 hãy chứng minh tỉ số diện tích của ∆POQ/∆CED = 25/16
Giải
a/ Ta có: QE = QD, OE = OD ⇒ QO là đờng trung trực của DE ⇒ QO ⊥ DE ⇒ PE = PC, OE = OC ⇒ PO là đ- ờng trung trực của CE ⇒ PO ⊥ CE mà ∠CED = 900⇒∠POQ = 900⇒∆POQ vuông.
Ta có: ∠ODE = ∠OED = ∠EQO ⇒ ∠ECD = ∠OPQ ⇒∆POQ ∼∆CED ⇒
CP.DQ = PE.QE = OE2 = R2.
b/ Khi PC= ⇒R DQ= R2 =2R
2 R / 2
⇒PO=R 5 ⇒QO R 5= ⇒PQ=5R
2 2 . Do ∆POQ ∼ ∆CED ⇒ tỉ số diện tích bằng bình phơng tỉ số đồng
dạng ∆ ∆ ⇒ = ữ = ữ = 2 2 POQ CED S PQ 5R / 2 25 S CD 2R 16 . Bài 8
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có ∠A = 450, BC = a. Vẽ các đờng cao BB1 và CC1, gọi O1 là điểm đối xứng với O qua đờng thẳng B1C1.
a/ Chứng minh rằng tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn b/ Tính B1C1 theo a
Giải
a/ Ta có: ∠BOC = 2∠BAC = 900⇒∠BC1C = ∠BOC = ∠BB1C = 900 ⇒ 5 điểm B, C1, O, B1, C ∈ đờng tròn
⇒∠C1OB1 = 1800 - ∠C1CB1 = 1800 - 450 = 1350
⇒∠C1O1B1 = ∠C1OB1 = 135
⇒ Tứ giác AB1O1C1 có ∠C1O1B1 + ∠B1AC1 = 1800
⇒ Tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn.
b/ ∆ABB1 vuông cân tại B1 ⇒ B1A = B1B mà OB = OA ⇒ OB1 là đờng trung trực của AB ⇒ OB1 ⊥ AB ⇒
OB1 // CC1 ⇒ tứ giác CC1OB1 là hình thang mà nội tiếp đợc đờng tròn ⇒ tứ giác CC1OB1 là hình thang cân ⇒
B1C1 = OC.
Xét ∆BOC vuông cân tại O ⇒ BC 2 = OB2 + OC 2⇒ OC =
⇒ 1 1 =
a a
B C
2 2 .
Bài 9
Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng cao AH. Gọi I, J, K lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp Q P C O D E y x I A B C B1 C1 O O1
các tam giác ABC, AHB, AHC. a/ Chứng minh rằng AI ⊥ JK
b/ Chứng minh rằng tứ giác BJKC nội tiếp đờng tròn
Giải
a/ Xét ∆AEC, góc ngoài ∠AEB = ∠EAC + ∠ACB
Ta có: ∠BAE = ∠BAH + ∠EAH. Mà ∠EAC = ∠EAH, ∠ACB = ∠BAH ⇒∠AEB = ∠BAE ⇒∆ABE cân tại B có BJ là tia phân giác ⇒ BJ ⊥ AE.
Tơng tự ta có: CI ⊥ AD.
Xét ∆AJK ta có I là trực tâm ⇒ AI ⊥JK
b/ Cộng góc ⇒∠IKJ = ∠CBI ⇒∠CBJ + ∠JKC = 1800⇒ tứ giác BJKC nội tiếp.
Bài 10
Cho đờng tròn (O1; R1) và đờng tròn (O2; R2) tiếp xúc ngoài nhau tại D, từ một điểm A thuộc (O1; R1) kẻ tiếp tuyến với (O1; R1) cắt đờng tròn (O2; R2) tại B và C. Chứng minh rằng A cách đều các đờng thẳng BD và CD.
Giải
Giả sử tiếp tuyến tại D của hai đờng tròn cắt AB tại F
⇒∠BCD = ∠BDF (cùng chắn cung BD) Mặt khác: FA = FD ⇒∠FDA = ∠FAD
⇒∠BDA = ∠BDF + ∠FDA = ∠BDF + + ∠BAD = ∠BCD + ∠BAD = ∠ADE
⇒ DA là tia phân giác của ∠BDE ⇒ A cách đều BD và CD.
AB D H E C B D H E C K I J D E C O 2 O1 A F B C