Ví dụ 7.6. Ta tìm nghiệm của phép đồng dư
x2 ≡ 197(mod 437).
Phép phân tích cho ta437 = 19.23. Do đó, đầu tiên ta giải hệ hai phương trình đồng dư
y2 ≡ 197 ≡ 7(mod 19), và z2 ≡ 197 ≡ 13(mod 23).
Do 19 và 23 đều đồng dư 3 modulo 4, nên ta có thể tìm các căn bậc hai của chúng theo Mệnh đề (7.4). Khi đó, ta có
y ≡ ±8(mod 19) và z ≡ ±6(mod 23).
Ta có thể chọn y bằng 8 hoặc -8, và z bằng 6 hoặc -6. Ta sẽ chọn hai nghiệm dương, và sử dụng Định lý thặng dư Trung Hoa để giải hệ phương trình đồng dư
x ≡ 8(mod 19) và x ≡ 6(mod 23).
Ta tìm được x ≡ 236(mod 437), do đó tìm được nghiệm của bài toán ban đầu.
Nhận xét 7.7. Nghiệm của bài toán trên là không duy nhất. Ban đầu ta hoàn toàn có thể chọn số âm
−236 ≡ 201(mod 437),
để thu được căn bậc hai thứ hai của 197 modulo 437. Nếu các modulo là các số nguyên tố, thì chỉ có duy nhất hai căn bậc hai như trên. Tuy nhiên, do 437=19.23 là hợp số, do đó có thêm hai số nữa. Để tìm chúng, ta thấy hoặc 8 hoặc 6 là số âm. Từ đó tính ra được x = 144 vàx = 293, do đó 197 có bốn căn bậc hai modulo 437.
Nhận xét 7.8. Ta thấy rằng từ Ví dụ (7.6) khá dễ dàng tính được các căn bậc hai modulo m nếu ta biết cách phân tích m thành tích các lũy thừa của các số nguyên tố. Tuy nhiên, giả sử m quá lớn và ta không thể phân tích nó. Khi đó bài toán tìm căn bậc hai modulo m là rất khó. Thật vậy, theo một nghĩa nào đó việc tìm căn bậc hai modulom khó tương đương với việc phân tíchm thành thừa số nguyên tố.
Thật ra, nếu m là một số nguyên lớn và không biết phân tích thừa số nguyên tố của nó, khi đó rất khó để xác định một số nguyêna cho trước có căn bậc hai modulo
m, kể cả không yêu cầu tính căn bậc hai.