d ≅ 2( 1 -ß^ ) → ß^ = 1 – d/2
=> xấp xỉ và có thể không đúng với mẫu nhỏ. Đối với các mẫu nhỏ có thể sử dụng thống kê d cải biên của Theil – Nagar.
ß^ =
khi có được giá trị của , ta có thể dùng các chuyển đổi như đã nêu ở trên.
ii. Thủ tục lặp Cochrance – Orcutt để ước lượng ρ
Phương pháp này sử dụng các phần dư t đã được Ɛ
ước lượng để thu được thông tin về ρ chưa biết.
Ta xét phương pháp này dựa trên mô hình hai biến sau:
Yt = ß1 + β2Xt + ut (5)
Giả sử ut được sinh ra từ phương trình AR(1):
ut = ρut – 1 + tƐ (6)
Bước 1: Ước lượng mô hình (5) bằng phương pháp OLS và thu được các phần dư t. Ɛ
Bước 2: Sử dụng các phần dư để ước lượng hồi qui: t =
Ɛ ρƐt – 1 + vt (7)
Lưu ý đây là hồi quy qua gốc. Do Ɛt là ước lượng vững của ut thực nên ước lượng ρ có thể thay cho ρ thực.
Bước 3: sử dụng ρ^ thu được từ (7) để ước lượng phương trình sai phân tổng quát. Tức phương trình:
Yt - Yt – 1 = ß1 (1 - ρ^ ) + β2(Xt - ρ^ Xt –1) + (ut – ρ^ ut –1)
Bước 4: Vì chúng ta chưa biết trước rằng ρ^ thu được từ (7) có phải là ước lượng tốt nhất của ρ hay không. Ta thế giá trị ước lượng của ß1* và β2* thu được từ (8) vào hồi qui gốc (5) và thu được các phần dư mới t*:Ɛ
t* = Yt
Ɛ – (ß1* + β2* Xt) (9)
Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (7). t* =
Ɛ ρ *t Ɛ – 1 + wt (10)
là ước lượng vòng 2 của ρ.
Thủ tục này tiếρ tục cho đến khi các ước lượng kế tiếp nhau của ρ khác nhau một lượng rất nhỏ, chẳng hạn nhỏ hơn 0,05 hoặc 0, 005.
iii. Phương pháp Durbin-Waston 2 bước:
Trước hết viết lại phương trình sai phân dưới dạng:
Yt = β1(1- ρ) + β2Xt - β2ρXt-1 + ρYt-1 + ( ut - ρut-1)
B1: ước lượng mô hình trên thu được ρ^
B2: thiết lập mô hình sai phân tổng quát và ước lượng nó để tìm β^1và β^2
• iv.Một vài phương pháp khác:
• Phương pháp tự tương quan bằng kiểm định Berenblutt-Webb
• Phương pháp ước lượng từ phần dư (hàm hồi
quy gốc)
• Phương pháp Cochrane-Orcutt 2 bước
• Quy trình tìm kiếm Hildreth-Lu