PHẦN I. BÀI TẬP VÍ DỤ
I. DỰA VÀO LIấN HỆ ĐƯỜNG ĐI
Bài 1: Một thanh cứng khụng khối lượng, cú chiều dài l quay được tự do trong mặt
phẳng hỡnh vẽ nhờ trục quay tại A, đầu trờn gắn quả cầu nhỏ khối lượng m. Ban đầu thanh cú phương thẳng đứng, quả cầu tiếp xỳc với mặt bờn hoàn toàn nhẵn của một nờm gỗ cú khối lượng M, nờm cú thể chuyển động khụng ma sỏt trờn mặt phẳng nằm ngang. Đẩy nhẹ để hệ bắt đầu chuyển động, tớnh tỉ số M/m biết rằng m bắt đầu rời khỏi nờm khi gúc giữa thanh và mặt phẳng ngang bằng 300.
Lời giải:
- Xột tại thời điểm vật m bắt đầu rời khỏi bề mặt của nờm, tại thời điểm đú lực tương tỏc giữa m và M bằng 0. Hỡnh chiếu gia tốc của m trờn phương ngang là
1 t n M
a a sin a cos a
- Do m bắt đầu rời khỏi M nờn
aM = 0 a sint a cosn v2cos
l (1)
Vào thời điểm đú lực tỏc dụng lờn m cú P và phản lực của thanh. Xột theo phương tiếp tuyến ta cú
t t
Pcos ma a gcos (2). Thế (2) vào (1) 2
v gl sin (3)
Vận tốc của M là uvsin sin gl sin (4)
- Chọn mặt phẳng ngang làm gốc thế năng, ỏp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta cú
1 2 1 2 mgl mgl sin mv Mu 2 2 (5) Thế (3), (4) vào (5) ta được 3 M 2 3sin 4 m sin
Bài 2: Một vật hỡnh trụ rắn khối lượng m và bỏn kớnh r trượt xuống mà khụng lăn trờn bề
mặt nghiờng, nhẵn của một cỏi nờm khối lượng M gúc nghiờng , nờm cú thể tự do chuyển động khụng ma sỏt trờn mặt phẳng nằm ngang.
a. Vào thời gian hỡnh trụ trượt xuống tới độ cao h thỡ cỏi nờm chuyển động được bao xa? b. Bõy giờ giả sử vật trụ tự do lăn xuống, khụng trượt trờn nờm. Trong trường hợp này, nờm sẽ chuyển động được bao xa?
c. Trong trường hợp nào thỡ vật hỡnh trụ sẽ xuống tới đỏy của nờm nhanh hơn? Điều này phụ thuộc như thế nào vào bỏn kớnh hỡnh trụ?
Lời giải:
an
P
49
a) Giả sử x0 là khoảng cỏch giữa khối tõm của hỡnh trụ tại vị trớ khảo sỏt với vị trớ ban đầu. Trong một hệ trục tọa độ cố định, giả sử x là tọa độ nằm ngang của khối tõm của nờm. Thành phần vận tốc nằm ngang của vật hỡnh trụ trong hệ quy chiếu này là x’ + x0’.Cos. Vỡ động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn, nờn từ trạng thỏi nghỉ ban đầu của hệ, ta cú:
M.x’ + m.(x’ – x0.Cos) = 0 => (M + m). x’ = m.x0’.Cos
Đặt x0 = x = 0 tại thời điểm ban đầu t = 0 mà khụng mất tớnh tổng quỏt. Tớch phõn phương trỡnh trờn, ta được:
(M + m).x = m.x0.Cos
Khi vật hỡnh trụ trượt xuống độ cao h, nú đó dịch chuyển một đoạn x0 = h/Sin và cỏi nờm đó dịch chuyển một đoạn:
x = m.x0.Cos/ (m+M) = m.h.cot / ( M + m)
b) Nếu vật hỡnh trụ lăn trờn nờm, sự bảo toàn động lượng của hệ theo phương ngang vẫn đỳng. Vỡ vậy, kết quả vẫn giống cõu a).
c) Sự bảo toàn tổng cơ năng của hệ đỳng trong cả hai trường hợp. Vỡ khối tõm của hỡnh trụ cú vận tốc (x’ – x0’Cos, - x0’Sin) và cỏi nờm cú vận tốc (x’, 0).
Đối với trường hợp hỡnh trụ trượt:
m{(x’ – x0’.Cos)2 + x0’2.Sin2} + M.x’2 = mgx0Sin (1) Đối với trường hợp hỡnh trụ lăn khụng trượt:
m{(x’ – x0’.Cos)2 + x0’2.Sin2} + M.x’2 + I.’2 = mgx0Sin (2) Với I = mr2/2 , ’ = x0’/r
Giải phương trỡnh (1) và phương trỡnh (2), ta thấy hỡnh trụ trượt xuống đỏy nờm nhanh hơn.