(d) Chỉ ra một ví dụ rằng nếu G là nhóm không giao hoán, thì G[d] không nhất thiết là một nhóm.
BÀI LÀM (a) Ta có
(g 1)d = g d = (gd) 1 = e 1 = e.
Trong đó dấu bằng thứ 3 xảy ra do g 2 G[d]. (b) Giả sử g và h nằm trong G[d], khi đó ta có
(gh)d = gdhd = e.e = e.
Trong đó dấu bằng thứ nhất xảy ra do g và h nằm trong G[d].
(c) Hiển nhiên e nằm trong G[d]. Từ phần (a) và(b) ta suy ra G[d] là một nhóm nếu G là một nhóm giao hoán.
(d) Ta lấy nhóm S3 và lấy t = (123), s = (132). Khi đó
t3 = s3 = e. Do đó t, s 2 S3[3]. Tuy nhiên
st = (12) là một phần tử cấp 2 trong S3, do đó st 2/ S3[3].
Bài tập 2.13
Cho G và H là các nhóm. Một hàm f : G ! H được gọi là một đồng cấu nhóm nếu nó thỏa mãn
f(g.h) = f(g).f(h) với mọi g, h 2 G.
(a) Cho eG là phần tử trung hòa của G, và eH là phần tử trung hòa của H, và cho g 2 G. Chứng minh rằng
f(eG) = eH và f(g 1) = f(g) 1.
(b) Cho G là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng ánh xạ f : G ! G được định nghĩa bởi f(g) = g2 là một đồng cấu.
(c) Câu hỏi tương tự câu (b) với f(g) = g 1. BÀI LÀM
(a) Với g 2 G, ta có
f(g) = f(g.eG) = f(g).f(eG). Giản ước hai vế ta suy ra
f(eG) = eH. Mặt khác, ta có
f(eG) = f(g.g 1) = f(g).f(g 1). Chuyển vế ta có
f(g 1) = (f(g)) 1. (b) Giả sử g và h trong G. Khi đó, ta có
f(gh) = (gh)2 = g2h2 = f(g).f(h).
Trong đó, dấu bằng thứ 2 xảy ra do G là một nhóm giao hoán. Vậy f là một đồng cấu.
(c) Với g và h nằm trong nhóm G, ta có
f(gh) = (gh) 1 = h 1g 1 = g 1h 1.
Trong đó dấu bằng cuối cùng xảy ra do G là nhóm giao hoán.
Bài tập 2.14
Chứng minh rằng các ánh xạ sau là đồng cấu.
(a) Ánh xạ f : Z ! Z/NZ chuyển a 2 Z thành a mod N trong Z/NZ.
(b) Ánh xạ f : R ! GL2(R) được định nghĩa bởi f(a) = 0a a
(c) Ánh xạ logarit rời rạc logg : Fp ! Z/(p1)Z, với g là một nghiệm nguyên thủy modulo p.
BÀI LÀM (a) Lấy a và b nằm trong Z. Khi đó, ta có
f(ab) = ab (mod N) a (mod N).b (mod N) = f(a).f
Vậy f là một đồng cấu nhóm.
(b).
9 BÀI TẬP
(c) Lấy a, b 2 Fp. Khi đó ta có
logg(ab) = logg(a) + logg(b). Công thức đã được chứng minh ở bài trước.
Bài tập 2.15
(a) Chứng minh rằng GL2(Fp) là một nhóm
(b) Chỉ ra rằng GL2(Fp) là một nhóm không giao hoán với mọi p. (c) Có bao nhiêu phần tử trong GL2(Fp)?
(d) Có bao nhiêu phần tử trong GLn(Fp)? BÀI LÀM (a) Lấy hai ma trận
A = c a Khi đó, ta có AB = Ma trận đơn vị là và nghịch đảo của ma trận A là A1 = 1 d c ad bc b a 2 GL2(Fp).
với các số được lấy theo modulo p. Vậy GL2(Fp) là một nhóm.
(b) Nhóm GL2(Fp) không là một nhóm giao hoán do
0 1
1 1
(c) Ta có GL2(Fp) là nhóm các ma trận cấp 2 có định thức khác 0 với các phần tử
trong Fp. Số cách để chọn cột đầu tiên là p2 độc lập tuyến tính với cột đã cho là p2
jGL2(Fp)j = (p2 1)(p2 (d) Áp dụng cách làm tương tự, số phần tử của GLn(Fp) là jGLn(Fp)j = nÕ1 (pn i=0 Bài tập 2.16 Xác thực các khẳng định sau đây (a) x2 + p x = O(x2), (b) 6x2 37x5 + 5 = O(x5), (c) k300 = O(2k), (d) (ln k)375 = O(k0,001), (e) k22k = O(e2k), (f) N102N = O(eN). Vậy 6x2 37x5 + 5 = O(x5). (c) Ta tính lim k300 2k
Ta thấy cả tử và mẫu tiến đến vô cùng khi k tiến đến vô cùng. Áp dụng quy tắc L’Hospital liên tục, khi đó giới hạn đã cho trở thành
300! lim (ln 2)300.2k = 0. Vậy k300 = O(2k). (d) Ta tính (ln k)375 lim k0,001
Áp dụng L’Hospital liên tiếp ta có giới hạn trên bằng 1 lim k375,001 = 0. Vậy (ln k)375 = O(k0,001). (e) Ta có lim
Áp dụng L’Hospital 2 lần, ta tính được giới hạn trên bằng 0. Do đó k22k = O(e2k).
(f) Ta tính giới hạn
lim
Áp dụng quy tắc L’Hospital liên tiếp, ta có lim
Vậy N102N = O(eN).
Bài tập 2.17
Sử dụng phương pháp bước nhỏ-bước lớn của Shanks để giải các bài toán logarit rời rạc sau.
(a) 11x = 21 trong F71. (b) 156x = 116 trong F593.
9 BÀI TẬP
(c) 650x = 2213 trong F3571.
(a) Ta giải bài toán logarit rời rạc
11x = 21 trong
Cấp của phần tử 11 trong F71 là 70. Khi đó, ta tính Danh sách 1:
và
Danh sách 2: Ta thấy rằng
Vậy x = 1 + 9.4 = 37.
(b) Ta giải bài toán logarit rời rạc
156x = 116 Cấp của phần tử 156 trong F593 là 148. Ta đặt N = dp 156 13 = 297. Ta có bảng sau Từ bảng trên ta thấy rằng 1567 = 116.2974 = 452 Khi đó, ta có 16 = 1567.2974 = 1567.(13613)4 = 15659 trong F593, do đó nghiệm là x = 59. 45
(c) Ta có h = 650 có cấp 510 trong F3571. Đặt N = dp 650 23= 1925. Ta có bảng sau k hk 1 650 2 1122 3 816 4 1892 5 1376 Ta thấy rằng 65020 = 2213.192513 = 3011 trong F3571. Lại có 1925 = 650 23, ta tính được 2213 = 65020.1925 13 = 65020.(65023)13 = 650319 trong
F3571, Vậy nghiệm của phương trình là x = 319.
Bài tập 2.18
Giải mỗi hệ phương trình đồng dư sau (hoặc giải thích tại sao không có nghiệm).
(a) x 3 (mod 7) và x 4 (mod 9).
(b) x 137 (mod 423) và x 87 (mod 191). (c) x 133 (mod 451) và x 237 (mod 697).
(d) x 5 (mod 9), x 6 (mod 10), và x 7 (mod 11). (e) x 37 (mod 43), x 22 (mod 49), và x 18 (mod 71).
BÀI LÀM
(a) Do x 3 (mod 7) nên x có dạng x = 7k + 3 với k là một số nguyên dương. Mặt khác, lại có x 4 (mod 9) nên ta có
7k + 3 4 (mod 9) hay 7k 1 (mod 9) Nhân hai vế với nghịch đảo của 7 modulo 11 là 4. Khi đó, ta có
k 1.4 (mod 9). Do đó k = 9n + 4. Do đó x = 7.4 + 3 = 31.
9 BÀI TẬP(b) Do x 87 (mod 191) nên x có dạng x = 191k + 87 với k là một số