II. LOGIC MỆNH ĐỀ
7. Bài toán suy diễn logic
Xét bài toán : Trên hòn đảo có hai loại người sinh sống : quân tử và tiểu nhân.
1 - 101 -
Quân tử luôn nói thật và tiểu nhân luôn nói dối. Một người hỏi một dân cư A trên đảo : "có phải anh là một quân tử ?". A đáp :"nếu tôi là quân tử thì tôi thua tiền anh ". Hãy chứng minh rằng : A nhất định phải thua tiền.
Ta mô hình hóa bài toán như sau :
Đặt các mệnh đề P : A là quân tử. Q : A phải trả tiền. Kết luận phải chứng minh là Q.
Khảo sát giả thiết của bài toán:
+ Mệnh đề khẳng định : " A là tiểu nhân " là not P
+ A phát biểu một mệnh đề S. giả thiết cho biết : Nếu A là quân tử thì S phải đúng tức là : P ==> S
+ Nếu A là tiểu nhân thì S phải sai : not p ==> not s + S là một hàm ý : " Nếu A là quân tử thì A phải trả tiền". Ta biểu thị S bởi : p ==> q
Như vậy tiền đề là : (P ==> S) and (not P ==> not S) theo luật tương đương (k) ta có thể viết là : P <==> S. Bài toán được phát biểu dưới dạng thuần tuý logic như sau : Cho tiền đề P <==> (P ==> Q)
Có thể suy diễn được kết luận Q không ?
Ta sẽ xác lập rằng (lý luận trên là đúng) mệnh đề (P <==>(p ==> Q)) ==> Q là đúng với mọi bộ giá trị đúng sai của các mệnh đề thành phần .
Có hai cách : (a) Dùng bảng giá trị đúng sai . P Q ( P <==> ( P ==> Q ) ) ==> Q ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– T T ( T <==> T ) ==> T F T ( F <==> T ) ==> T T F ( T <==> F ) ==> F F F ( F <==> T ) ==> F
(b) Dùng cách thay thế bằng các mệnh đề tương đương . P <==> (P ==> Q) P <==> (not P or Q) (hàm ý) = = [(P and (not P or Q)] or [not P and not (not P or Q )] (tương đương)
mà not P and not (not P or Q) = not P and (not not P and not Q) = not P and ( P and not Q)
= (not P and P) and not Q = false and not Q = false
và P and (not P or Q) = (P and not P) or (P and Q) = false or (p and Q)
= P and Q
Như vậy P <==> (P ==> Q) = P and Q
Từ đó [P<==>(P ==>Q)] ==> Q = (P and Q) ==> Q
1 - 102 -
= not (P and Q) or Q = (not P or not Q) or Q = not P or (not Q or Q) = not P or true = true
Với các bài toán chỉ liên quan đến ít mệnh đề như trong ví dụ trên, cách dùng bảng chân trị đơn giản hơn . Nhưng nên cố gắng sử dụng cách biến đổi tương đương, bởi vì áp dụng thực tiễn của nó là lớn hơn nhiều.