, ho mặ tS và một hàm f (x y z) xá định trên mặt S.
1 dfgfg 2 dR fg
2 dR fg 3 dfgfg 4 dR fg
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRèNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRèNH VI PHÂN
Nội dung của chương này sẽ trỡnh bày cỏc khỏi niệm, phõn loại và cỏch giải một số phương trỡnh vi phõn như phương trỡnh vi phõn cấp 1 tỏch biến, Bernoulli, vi phõn toàn phần; phương trỡnh vi phõn cấp 2; hệ phương trỡnh vi phõn cấp 1 thường gặp trong kỹ thuật. Để học tốt chương này, người học cần nắm vững cỏc cụng thức đạo hàm và tớch phõn của hàm một biến số.
4.1. Khỏi niệm chung về phương trỡnh vi phõn
Cú rất nhiều cỏc mụ hỡnh toỏn học liờn quan đến việc nghiờn cứu và giải cỏc phương trỡnh vi phõn, ta nhắc lại một số mụ hỡnh bài toỏn quen thuộc thường gặp trong chương trỡnh phổ thụng liờn quan tới phương trỡnh vi phõn.
4.1.1. Cỏc bài toỏn
Bài toỏn 1. Một vật cú khối lượng m được đặt lờn một lũ xo đàn hồi với hệ số k > 0. Hóy xỏc định quy luật dao động của vật?
Giải. Chọn trục Oy thẳng đứng hướng từ trờn xuống, gốc O đặt tại trọng tõm vật ở vị trớ cõn bằng. Từ đú ta dễ dàng đưa ra phương trỡnh chuyển động của vật theo định luật Newton:
md
2y
dt2 =−ky−λdy dt.
Đặt a= mk và b= mλ thỡ ta cú phương trỡnh chuyển động của lũ xo cú dạng thu gọn
y′′+ay′+by = 0. (4.1) Đõy là phương trỡnh vi phõn bậc 2 tuyến tớnh.
Bài toỏn 2. Một thanh kim loại được nung núng đến 1200C được đặt trong mụi trường luụn cú nhiệt độ khụng đổi 250C. Tỡm quy luật thay đổi nhiệt độ của thanh kim loại.
Giải. Gọi y(x) là nhiệt độ thanh kim loại tại thời điểm x. Theo định luật Newton về sự giảm nhiệt của vật thỡ vận tốc giảm nhiệt là dy
dx tỷ lệ với nhiệt độ của vật thể và nhiệt độ y(x)−25của mụi trường tại thời điểm đú. Do vậy, ta cú
dx
dt =−k(x(t)−25), k >0, (4.2) là phương trỡnh vi phõn cấp 1.
Phương trỡnh vi phõn là phương trỡnh quan hệ giữa biến độc lập x, hàm số cần tỡm y và cỏc đạo hàm y′, y′′, ..., y(n) của nú. Hay phương trỡnh cú dạng như sau:
F(x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0 (4.3) hoặc
y(n) =f(x, y, y′, y′′, ..., y(n−1)).
Cấp cao nhất n của đạo hàm của hàm số y được gọi là cấp của phương trỡnh vi phõn. Vớ dụ như, phương trỡnh vi phõn (4.2) là phương trỡnh vi phõn cấp 1 và (4.1) là phương trỡnh vi phõn cấp 2. Nghiệm của phương trỡnh vi phõn (4.3) là tất cả cỏc hàm số y =ϕ(x) thỏa món phương trỡnh.
4.2. Phương trỡnh vi phõn cấp một 4.2.1. Định nghĩa và sự tồn tại nghiệm
Phương trỡnh vi phõn cấp một là một phương trỡnh vi phõn cú dạng
F(x, y, y′) = 0. (4.4)
Phương trỡnh (4.4) được gọi là giải đượcđối với y′, nếu nú cú thể viết được dưới dạng: y′ =f(x, y). (4.5) Bài toỏn Cauchy: Tỡm hàm số y=y(x)là nghiệm của phương trỡnh (4.4) hoặc (4.5) và điều kiện ban đầu y(x0) =y0.
Vớ dụ 4.1. Giải bài toỏn Cauchy
y′ = 3x2, y(0) = 1.
Giải: Dễ dàng thấy y = x3 +C là nghiệm của phương trỡnh. Với x = 0, y = 1, ta cú C = 1. Vậy nghiệm của bài toỏn là y=x3 + 1.
Họ hàm số y =ϕ(x, C), với C là một hằng số tựy ý, được gọi là nghiệm tổng quỏt của phương trỡnh vi phõn cấp 1 trờn miền D ⊆ R2, nếu y = ϕ(x, C) thỏa món phương trỡnh (4.4) với mọi hằng số C và tồn tại duy nhất hằng số C0 sao cho y=ϕ(x, C0) là nghiệm của bài toỏn Cauchy. Nếu khụng tỡm được nghiệm tổng quỏt mà tỡm được nghiệm dưới dạng một hệ thức dạng ẩn φ(x, y, C) = 0, thỡ hệ thức này được gọi là tớch phõn tổng quỏt của
phương trỡnh vi phõn cấp 1. Chỳ ý rằng, khụng phải bất kỳ nghiệm nào của phương trỡnh vi phõn cũng nhận được từ nghiệm tổng quỏt bằng cỏch cho hằng số C cỏc giỏ trị cụ thể. Nghiệm khụng thể nhận được từ nghiệm tổng quỏt cho dự C lấy bất kỳ giỏ trị nào được gọi là nghiệm kỳ dị (ta khụng nghiờn cứu sõu về nghiệm này).
Định lý 4.2. Nếu hàmf(x, y)liờn tục trong miềnD⊆ Rn chứa(x0, y0), thỡ bài toỏn Cauchy
(4.5) và điều kiện ban đầu y(x0) = y0 cú nghiệm y=y(x) xỏc định trong lõn cận của điểm