Nếu từ một điểm A nào đó trong trường hấp dẫn của quả đất, ta bắn đi một viên
đạn khối lượng m với vận tốc đầu là v0 thì lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng tùy theo trị số của v0 có thể xảy ra một trong những trường hợp sau:
- Viên đạn rơi trở về mặt đất;
- Viên đạn bay vòng quanh quảđất theo một quỹđạo kín (tròn hay cập); - Viên đạn bay ngày càng xa quảđất.
Trị số vận tốc ban đầu vo cần thiết để bắn viên đạn bay vòng quanh quảđất theo một quỹđạo tròn gọi là vận tốc vũ trụ cấp I.
Trị số tối thiểu của vận tốc ban đầu vo cần thiết để bắn viên đạn bay ngày càng xa quảđất gọi là vận tốc vũ trụ cấp II.
5.3.1. Vận tốc vũ trụ cấp I
Ta tính vận tốc vũ trụ cấp I khi viên đạn chuyển động tròn xung quanh quảđất.
Giả thiết viên đạn bay cách mặt đất không xa lắm để ta có thể coi bán kính quỹ đạo của nó bằng bán kính R của quảđất.
Vận tốc v1 của viên đạn trong chuyển động tròn có liên hệ với gia tốc hướng tâm (gia tốc trọng trường) bởi:
Tính cụ thể bằng số ta được: v1 = 7,9km/s = 8km/s
Nếu bắn với vận tốc ban đầu v0 < 8km/s, viên bạn sẽ rơi trở về quảđất, nếu bắn với vận tốc ban đầu 8km/s < v0 < VII thì viên đạn chuyển động xung quanh quả đất theo quỹđạo hình elip.
5.3.2. Vận tốc vũ trụ cấp II
Giả sử viên đạn xuất phát từ A cách tâm của quả đất một khoảng bằng bán kính quả đất R, với vận tốc ban đầu v0 và bay ngày càng xa quảđất đến ∞. Định luật bảo toàn cơ năng áp dụng đối với viên đạn cho ta:
Giá trị tối thiểu của v0 chính là vận tốc vũ trụ cấp II: R 2g vII = 0 (5.17) Giá trị cụ thể là: vII = 11,2 km/s.
CHƯƠNG 6. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN 6.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển. Nguyên lý Galille 6.1.1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển
Cơ học cổđiển xây dựng trên cơ sở những quan điểm của Newton về không gian, thời gian và chuyển động.
Để cụ thể chúng ta hãy xét hai hệ tọa độ: một hệ Oxyz đứng yên, một hệ O', x', y', z' chuyển động so với O; đểđơn giản ta giả thiết chuyển động của hệ O' thực hiện sao cho O'x' luôn luôn trượt dọc theo Ox; Oy' song song và cùng chiều với Oy, O'z' song song và cùng chiều với Oz (hình 6.1). Với mỗi hệ tọa độ
gắn thêm một đồng hồđể chỉ thời gian.
Ta hãy xét một điểm M bất kỳ: tại thời điểm t chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có tọa
độ trong hệ O là x, y, z; các tọa độ thời gian và không gian tưởng ứng của M trong hệ
O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton:
- Thời gian chỉ bởi các đồng hồ trong hai hệ O và O' là như nhau: t = t' (6.1) Nói cách khác: thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy chiếu.
- Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu: cụ thể là các tọa độ không gian của M phụ thuộc hệ quy chiếu; ta có:
z' z , y' y , ' OO x' x = + = = (6.2)
Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu. Do đó:
chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.
- Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong không gian là một đại lượng không phụ
thuộc hệ quy chiếu. Giả thiết có một cái thước AB đặt dọc theo trục Ox gắn liền với hệ
O'. Chiều dài cuar thước đo trong hệ O' cho bởi: l0 = xb - x∧ Chiều dài của thước đo trong hệ O cho bởi: l = xb - x∧ Nhưng theo (6.2), ta có: ∧ ∧ + = + = x ' OO x x ' OO x B A Do đó: XB – xA = xB – xA hay l = l0
Nói cách khác, khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ thuộc hệ quy chiếu.
Xét trường hợp riêng: chuyển động của hệ O' là chuyển động thẳng đều. Nếu tại t = 0, O' trùng với O, thì:
vt ' OO=
v là vận tốc chuyển động của hệ O'. Theo (6.1) và (6.2) ta có: x = x'+vt', y = y', z = z', t = t' (6.3) Và ngược lại
x' = x - vt', y' = y, z '= z, t' = t (6.4)
Các công thức (6.3) và (6.4) gọi là các phép biến đổi Galille: chúng cho ta cách
chuyển các tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại.
6.1.2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc
Vì chuyển động có tính chất tương đối, nên vận tốc và gia tốc chuyển động của một chất điểm phụ thuộc hệ quy chiếu. Chúng ta hãy tìm những công thức liên hệ vận tốc, gia tốc của một chất điểm M đối với hai hệ tọa độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau. Giả
thiết hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến đối với hệ Oxyz sao cho ta luôn luôn có: O'x' ↑↑ Ox; O'y' ↑↑ Oy; O'z' ↑↑ Oz
Đặt OM rr, OM' rr' = = theo hình (6.1) ta có: ' OM ' OO OM= + Hay rr=rr'+OO' (6.5)
Đạo hàm hai vế của (6.5) theo thời gian t, ta được:
Như vậy, biểu thức (6.6) trở thành: V ' v vr r r + = (6.7)
Vectơ vận tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu O bằng tổng hợp vectơ
vận tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và vectơ vận tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy hiếu O.
Lấy đạo hàm hai vế của biểu thức (6.7) theo thời gian t ta được: Hay ar ar Ar + = ' (6.8) Trong đó: ar là gia tốc của M đối với hệ O; ' ar là gia tốc của M đổi với hệ O' ; Ar là gia tốc tịnh tiến của hệ O' đối với hệ O.
Vậy: Vectơ gia tốc của một chất điểm đối với một hệ quy chiếu O bằng tổng hợp vectơ gia tốc của chất điểm đó đối với hệ quy chiếu O ' chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu O và vectơ gia tốc tịnh tiến của hệ quy chiếu O ' đối với hệ quy chiếu O.
Hai công thức (6.7) và (6.8) gọi là công thức tổng hợp vận tốc và gia tốc.
6.1.3. Nguyên lý tương đối Galillê
Trong mục này chúng ta hãy xét chuyển động của một hệ chất điểm trong hai hệ
quy chiếu khác nhau: hệ Oxyz quy ước là đứng yên, hệ O'x'y'z' chuyển động tịnh tiến
đối với hệ Oxyz. Ta giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính, trong đó các định luật Newton được nghiệm đúng. Như vậy, phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ O cho bởi định luật Newton là: mar Fr = (6.9) ar là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O, Fr là tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm. Gọi ar'
là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O', theo (6.8) ta có: a ' a ar r r + = . Trong đó Ar là gia tốc chuyển động của hệ O' đối với hệ O. Nếu hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O thì Ar = 0 và ar=ar' (6.10) vậy, (6.9) có thể viết thành: mar' =f (6.11)
Đó là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ O', phương trình này cùng một dạng như (6.9). Nói cách khác định luật Newton cũng thỏa mãn trong hệ O, kết quả hệ O' cũng là một quy chiếu quán tính. Ta có thể phát biểu như sau: Mọi hệ
quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính cũng là một hệ
quy chiếu quán tính; hay là: Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính. Điều đó có nghĩa là: Các
Đó là những cách phát biểu khác nhau của nguyên lý tương đối Galille. Vì các phương trình động lực học là cơ sởđế mô tả và khảo sát các hiện tượng cơ học nên ta cũng có thể phát biểu:
Các hiện tượng, các quá trình cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau
đều xảy ra giống nhau.
Do đó nếu có người quan sát và thí nghiệm các hiện tượng, các quá trình cơ học trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó thì người đó sẽ không thể phát hiện được hệ
quy chiếu đó đứng yên hay chuyển động thẳng đều, vì trong cả hai trường hợp những kết quả thu được như nhau.
Nguyên lý Galille và phép biến đổi Galillê:
Chúng ta biết rằng phép biến đổi Galille (6.3) và (6.4) thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quy chiếu O sang hệ quy chiếu O' chuyển động thẳng
đều đối với O. Bây giờ chúng ta hãy xét sự liên hệ giữa phép biến đổi Galille và nguyên lý tương đối Galille.
Theo nguyên lý Galille, định luật Newton trong hệ O' được biểu diễn bằng phương trình: F ' a mr r =
Hay, nếu chiếu lên ba trục O'x', Oy', O'z' ta được: max = Fx ; may = Fy ; maz = Fz . Hay, theo các hệ thức trong chương động học:
Những phương trình này có cùng dạng như những phương trình biểu diễn định luật Newton trong hệ quy chiếu quán tính O:
max = F
nhưng ta nhận thấy hệ các phương trình (6.9) có thể suy ra (6.11) qua phép biến
đổi Galille (6.3) và (6.4).
Vậy phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng qua phép biến đổi Galille.
Nói cách khác: các phương trình cơ bản bất biến đối với phép biến đổi Galille.
Phát biểu này tương đương với nguyên lý Galille. Quả vậy, nếu hệ O là hệ quán tính thì hệ O' chuyển động thẳng đều đối với hệ O, cũng là hệ quán tính. Như vậy, phép biến đổi Galille thực hiện sự chuyển các tọa độ không gian thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Kết quả qua phép biến đổi Galille, các phương trình biểu diễn định luật Newton giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ
6.1.4. Lực quán tính
Bây giờ ta hãy xét các định luật động lực học trong một hệ quy chiếu O1 tịnh tiến có gia tốc Ar
đối với hệ quy chiếu quán tính O. Gọi ar1'
là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O1 thì: A a a r1 r r + = nhân hai vế với m: A a m a mr r1 r + =
Vì O là hệ quán tính nên trong đó định luật Newton nghiệm đúng F a mr r = Do đó: Fr mar1 mAr + = Hay mar1 F ( mAr) − + = (6.12)
Ta thấy phương trình này không cùng dạng như (6.9), nói cách khác: khi khảo sát chuyển động chất điểm trong một hệ O1 tịnh tiến có gia tốc đối với hệ quán tính O, ngoài các lực tác dụng lên chất điểm phải kể thêm lực:
A m Frqt r − = . Lực Frqt mAr −
= gọi là lực quán tính. Hệ quy chiếu O1 gọi là hệ không quán tính.
Phương trình động lực của chất điểm trong hệ O1được viết là:
qt 1 F F a mr r r + =
Như vậy, lực quán tính là một lực ảo chỉ quan sát được trong hệ quy chiếu không quán tính. Lực quán tính luôn luôn cùng phương và ngược chiều với gia tốc chuyển
động của hệ quy chiếu không quán tính.
Nhờ khái niệm lực quán tính ta có thể giải thích nhiều hiện tượng trong thực tế, chẳng hạn như giải thích hiện tượng tăng trọng lượng trong con tàu vũ trụ lúc xuất phát.
6.2. Những tiên đề của thuyết tương đối hẹp Einstein
Để xây dựng nên thuyết tương đối của mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra hai nguyên lý sau:
6.2.1. Nguyên lý tương đối
Mọi định luật Vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
6.2.2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng
Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3. 108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.
Theo nguyên lý này chỉ các định luật cơ học là bất biến khi chuyển từ một hệ
quán tính này sang một hệ quán tính khác. Điều đó có nghĩa là phương trình mô tả một
định luật cơ học nào đó, biểu diễn qua tọa độ và thời gian, sẽ giữ nguyên dạng trong tất cả các hệ quán tính. Như vậy, nguyên lý tương đối Einstein đã mở rộng nguyên lý Galille từ các hiện tượng cơ học sang các hiện tượng Vật lý nói chung.
Trong cơ học cổ điển Newton, tương tác được mô tả dựa vào thế năng tương tác
Đó là một hàm của các tọa độ những hạt tương tác. Từđó suy ra các lực tương tác giữa một chất điểm nào đó với các chất điểm còn lại, tại mỗi thời điểm, chỉ phụ thuộc vào vị trí của các chất điểm tại cùng thời điểm đó. Sự tương tác sẽảnh hưởng ngay tức thời
đến các chất điểm khác tại cùng thời điểm. Như vậy, tương tác được truyền đi tức thời. Nếu chia khoảng cách giữa hai chất điểm cho thời gian truyền tương tác Δt (Δt = 0), vì là truyền tức thời) ta sẽ thu được vận tốc truyền tương tác. Từ đó suy ra rằng trong cơ
học cổđiển vận tốc truyền tương tác lớn vô hạn.
Tuy nhiên, thực nghiệm đã chứng tỏ, trong tự nhiên không tồn tại những tương tác tức thời. Nếu tại một chất điểm nào đó của hệ chất điểm có xảy ra một sự thay đổi nào đó, thì sự thay đổi này chỉ ảnh hưởng tới một chất điểm khác của hệ sau một khoảng thời gian ít nào đó (Δt > 0). Như vậy, vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn. Theo thuyết tương đối của Einstein vận tốc truyền tương tác là như nhau trong tất cả các hệ quán tính. Nó là một hằng số phổ biến. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không
đổi này là cực đại và bằng vận tốc truyền ánh sáng trong chân không (c = 3.108m/s). Trong thực tế hàng ngày chúng ta thường gặp các vận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng (v << c) do đó trong cơ học cổ điển ta có thể coi vận tốc truyền tương tác là vô hạn mà vẫn thu được những kết quả đủ chính xác. Như vậy, về mặt hình thức có thể
chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang cơ học cổđiền bằng cách cho c→∞ ở trong các công thức của cơ học tương đối tính.
6.3. Phép biến đổi Lorentz
6.3.1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galille với thuyết tương đối Einstein
Theo các phép biến đổi Galille, thời gian diễn biến của một quá trình Vật lý trong các hệ quy chiếu quán tính K và K' đều như nhau.
Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K' đều bằng nhau Δl = x2 – x1 = Δl'= x2 – x1
(các đại lượng có dấu phảy đều được xét trong hệ K').
Vận tốc tuyệt đối v của chất điểm bằng tổng vectơ các vận tốc tương đối v' và vận tốc theo V của hệ quán tính K' đối với K
v = v' + V
Tất cả các kết quảđó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v << c). Nhưng rõ ràng là chúng mâu thuẫn với các tiên đề của thuyết tương đối Einstein. Thực vậy, theo thuyết tương đối, thời gian không có tính chất tuyệt đối, khoảng thời gian diễn biến
của một quá trình Vật lý phụ thuộc vào các hệ quy chiếu. Đặc biệt các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ quán tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ quy chiếu quán tính khác.
6.3.2. Phép biến đổi Lorentz
Qua trên ta nhận thấy, phép biến đổi Galille không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Einstein. Lorentz đã tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và