Chương 3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ
3.3Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới.
Xét phương trình vi phân ( ),
u′ = f t u , u( )0 =u0 (3.3.1) Trong đó f ∈C J[ ×E E, ], J =[ ]0,T và E là không gian Banach thực.
Lấy 1[ ]
, ,
Khi đó ,v w được gọi là nghệm dưới và nghiệm trên của (3.3.1) liên quan đến nón K trong E xác định một cách tự nhiên. Trường hợp đặc biệt khi n
E =¡
và K =¡ +, người ta chứng minh được kết quả sau:
Định lý 3.3.1
Cho 1
, , n
v w∈C J ¡ là nghiệm dưới và nghiệm trên của (3.3.1) sao cho ( ) ( )
v t ≤w t trên J và cho f ∈CΩ,¡ n . Trong đó
( ) ( ) ( )
{ t u, J n:v t u w t t, J}
Ω = ∈ ס ≤ ≤ ∈ . Nếu f là hàm tựa đơn điệu không
giảm theo u thì tồn tại nghiệm u của (3.3.1) sao cho v t( ) ( )≤u t ≤w t( ) trên J
với v( ) ( )0 ≤u 0 ≤w( )0 .
Thực ra kết luận của định lý 3.3.1 vẫn đúng mà không cần yêu cầu f
là hàm tựa đơn điệu không giảm. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần làm mạnh khái niệm nghiệm trên và nghiệm dưới của (3.3.1) như sau:
Với mỗi i, ( ), i i v′ ≤ f t σ ∀σ thỏa v t( )≤ ≤σ w t( ) và v ti( )=σi ( ), i i w′ ≥ f t σ ∀σ thỏa v t( )≤ ≤σ w t( ) và w ti( )=σi (3.3.3) Định lý 3.3.2 Cho 1 , , n
v w∈C J ¡ với v t( )≤w t( ) trên J, thỏa (3.3.2).
Cho f ∈CΩ,¡ n. Khi đó tồn tại nghiệm u của (3.3.1) sao cho ( ) ( ) ( )
v t ≤u t ≤w t trên J với v( ) ( )0 ≤u 0 ≤w( )0 .
Vì giả thiết của định lý 3.3.1 kéo theo giả thiết của định lý 3.3.2 mà đủ để chứng minh định lý 3.3.2. Chứng minh: Xét P J: ס n →¡ n định nghĩa bởi ( ), max{ ( ), min , ( ) } i i i i P t u = v t u w t với mỗi i.
Khi đó f t P t u( , ( ), ) xác định một mở rộng liên tục của f đến n
Jס mà bị chặn, vì f bị chặn trên Ω. Vì vậy u′ = f t P t u( , ( ), ) có một nghiệm u trên J
với u( )0 =u0.
Ta chứng minh v t( ) ( )≤u t ≤w t( ) và vì vậy là nghiệm của (3.3.1).
+ Với ε >0 và e=(1,...,1), xét w tε( )=w t( ) (+ε 1+t e) và ( ) ( ) (1 )
v tε =v t −ε +t e. Ta có vε ( )0 <u0 <wε( )0 .
+ Giả sử t1∈J thỏa v tε( ) ( )<u t <w tε( ) trên [0,t1). Nhưng u tj( )1 =wεj( )t1 . Khi đó ta có v t( )1 ≤P t u t( 1, ( )1 )≤w t( )1 và P t u tj( 1, ( )1 )=w tj( )1 . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do đó w t′j( )1 ≥ fj(t P t u t1, ( 1, ( )1 ))=u t′j( ), suy ra u t′j( )1 <w t′j( )1 mâu thuẫn với ( ) ( )
j j
u t <wε t với t <t1. Vì vậy v tε( ) ( )<u t <w tε( ) trên J .
Cho ε →0 dẫn đến v t( ) ( )≤u t ≤w t( ). Vậy định lý đã được chứng minh. Kế tiếp ta sử dụng ý tưởng bất phương trình vi phân để đưa ra cách chứng minh khác của định lý 3.3.2 mà rất được quan tâm.
Với cách chứng minh này ta cần thỏa mãn điều kiện Lipschitz có dạng sau: ( ) ( ) 1 , , n i i i i i i f t x f t y L x y = − ≤ ∑ − Chứng minh:
Trước tiên ta giả sử rằng ,v w trong (3.3.3) thỏa bất đẳng thức ngặt và ( ) ( )0 0 ( )0
v ≤u ≤w và cần chứng minh kết luận cho bất đẳng thức ngặt. Nếu kết luận là sai thì tồn tại t1>0 và i, 1≤ ≤i n sao cho v t( ) ( )1 ≤u t1 ≤w t( )1
và hoặc v ti( )i =u ti( )1 hoặc u ti( )1 =w ti( )1 . Khi đó ( )
( 1, 1 ) ( )1 ( )1 ( 1, 1,..., ( )1 ,..., )
i i i i i n
f t u t =u t′ ≤v t′ < f t σ v t σ = f t u ti( 1, ( )1 ) hoặc f t u ti( 1, ( )1 )=u ti′( )1 ≥w ti′( )1 > f ti( 1,σ1,...,w ti( )1 ,...,σn) = f t u ti( 1, ( )1 ).
Để chứng minh kết quả đối với bất đẳng thức không ngặt, ta xét °( ) ( ) ( )n1L ti i i w t =w t +εe + , °( ) ( ) ( )n 1L ti i i v t =v t −εe + , trong đó ε >0 đủ nhỏ. Hơn nữa, lấy P t ui( ), =maxv ti( ), min(u w ti, i( )) với mỗi i
Khi đó rõ ràng nếu σ° thỏa v t%( )≤ ≤σ° w t°( ) và σ°i =w t°i( ) thì dẫn đến
°
( ),
P t
σ = σ thỏa v t( )≤ ≤σ w t( ) và σi =w ti( ). Do đó , sử dụng điều kiện Lipschitz ta được
° ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)1 n L ti , 1 n L ti