3 CÁC ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG
3.4 Một số ứng dụng của định lí Weierstrass
Định lí 3.4.1 (Số khơng điểm): Cho f ∈ A[r1, r2].
Nếur1 ≤ ρ ≤R ≤r2 thì f cĩ K(f, R)−k(f, ρ) khơng điểm trong A[ρ, R] tính cả bội.
Chứng minh:
• Nếuf = 0thìf cĩ vơ hạn khơng điểm =K(f, R)−k(f, ρ)vìK(f, R) = +∞
và k(f, ρ) = −∞.
• Nếuf 6= 0thì ở chương 2 ta đã chứng minhf chỉ cĩ hữu hạn bán kính tới hạn trongA[ρ, R], giả sử là: s1, s2, ..., sm với si < si+1,∀i = 1,2, ..., m−1.
? Với mỗi r ∈[ρ, R] và r khơng là điểm tới hạn:
Theo định lí Weierstrassf = P.u với P là đa thức bậc d.
Với d = K(f, r)−k(f, r) và K(u, r) = k(u, r) nên u khả nghịch trong
A[r, r]. Do vậy, trong A[r, r], số khơng điểm của f, kể cả bội bằng với số khơng điểm của P, tính cả bội.
Theo mệnh đề 2.2.6, P cĩ đúng d= K(f, r)−k(f, r)khơng điểm kể cả bội trong A[r, r].
Do vậy: f cĩ đúng d = K(f, r)−k(f, r) khơng điểm kể cả bội trong
A[r, r].
Vìrkhơng là điểm tới hạn, tức là d= K(f, r)−k(f, r) = 0 nênf khơng cĩ khơng điểm trong A[r, r], nĩi cách khác là f khơng cĩ khơng điểm cĩ chuẩn bằng r. Như vậy, khơng điểm của f (nếu cĩ) phải cĩ chuẩn bằng điểm tới hạn.
? Với mỗi điểm tới hạn si, i= 1,2, ..., m:
Lập luận tương tự như trên, f cĩ đúng di = K(f, si)− k(f, si) khơng điểm kể cả bội cĩ chuẩn bằngsi.
Vậy: Số khơng điểm của f trong A[ρ, R] = Số khơng điểm của f cĩ chuẩn bằng điểm tới hạn si, ∀i= 1,2, ..., m và bằng:
X 1≤i≤m di = X 1≤i≤m (K(f, si)−k(f, si)) (3.14) ? Mặt khác, ta cĩ:
∗ Nếu ρ = s1 thì k(f, ρ) = k(f, s1), nếu ρ < s1 thì ρ khơng phải là bán kính tới hạn nên: k(f, ρ) = K(f, ρ) mà theo mệnh đề 2.2.9 K(f, ρ) =k(f, s1) nên k(f, ρ) =k(f, s1).
∗ Tương tự, nếu R = sm thì K(f, R) = K(f, sm), nếu R > sm thì R
đề2.2.9 K(f, sm) =k(f, R) nên K(f, sm) =K(f, R). Như vậy: k(f, ρ) =k(f, s1).
K(f, sm) = K(f, R).
Theo mệnh đề2.2.9ta cũng cĩ: K(f, si) =k(f, si+1),∀i= 1,2, ..., m−1, Từ các đẳng thức này và (3.14) ta cĩ: Số khơng điểm củaf trongA[ρ, R]
là:
X
1≤i≤m
Định lí 3.4.2: Cho f ∈ A[r1, r2], f 6= 0.
Khi đĩ f cĩ nhiều nhất là hữu hạn khơng điểm trong A[ρ, R]. Chứng minh:
Định lí này là hệ quả trực tiếp của định lí 3.4.1 khi ρ= r1 và R =r2.
Thật vậy, số khơng điểm củaf trongA[r1, r2] là: K(f, r2)−k(f, r1), vì f 6= 0
nên K(f, r2) và k(f, r1) đều hữu hạn, do vậy hiệu của chúng là hữu hạn hay
Một số ví dụ: Tính số khơng điểm của một chuỗi Laurent p-adic.
• Trong C2, cho f(z) = z2(z−1)(z −2)(z −3) = z5 −6z4+ 11z3 −6z2. Dễ thấy f giải tích trên A[0,1], hay: f ∈ A[0,1].
|a0| = 0,|a1|= 0,|a2| = 1/2,|a3| = 1,|a4| = 1/2,|a5| = 1.
K(f,1) = 5, k(f,0) = 0.
Vậy f cĩ K(f,1)−k(f,0) = 5 khơng điểm trong A[0,1].
? Tính cụ thể, ta cĩ:
∗ r1 = 0 : k(f, r1) = 0, K(f, r1) = min{n: |an| 6= 0}= 2.
Nên f cĩ K(f, r1)−k(f, r1) = 2 khơng điểm cĩ chuẩn bằngr1.
∗ r2 = 1/2 : k(f, r2) = 2, K(f, r2) = 3.
Nên f cĩ K(f, r2)−k(f, r2) = 1 khơng điểm cĩ chuẩn bằngr2.
∗ r3 = 1 : k(f, r3) = 3, K(f, r3) = 5.
Nên f cĩ K(f, r3)−k(f, r3) = 1 khơng điểm cĩ chuẩn bằngr3.
• Trong C3, cho f(z) = +∞ X n=1 3nzn+ 1 X n=−∞ 3−nzn. ? ∀r ∈[1/2,1], ta cĩ: ∗ n >0 : 1 2n ≤ rn ≤ 1 và |an| = 3−n ⇒ 1 2n3−n ≤ |an|rn ≤ 3−n ⇒ 1 2n 1 3n ≤ |an|rn ≤ 1 3n nên lim n→+∞|an|rn = 0. ∗ n <0 : 1 2n ≥ rn ≥ 1 và |an| = 3n ⇒ 1 2n3n ≥ |an|rn ≥ 3n ⇒ 2 3 −n ≥ rn ≥ 1 3 −n nên lim n→−∞|an|rn = 0.
Vậy f giải tích trên A[1/2,1], hay: f ∈ A[1/2,1].
? Dễ thấy: K(f,1/2) = k(f,1/2) = −1. Và: K(f,1) = 1, k(f,1) =−1.