b. Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón.
2.3.Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems).
Từ định lí 2.2.4 và 2.2.5 ta có hai kết quả sau:
Định lí 2.3.1
Cho ΩR1R, ΩR2R, và ΩR3R là ba tập mở bị chặn trong E sao cho
1 2
1, , 3
Giả sử rằng Ax≤x,∀ ∈ ∩ ∂Ωx P 3. Khi đó, A có ít nhất hai điểm bất động xP * P và xP ** P
trong P∩ Ω Ω( 3\ 1), hơn nữa, *
12\ 2\ x ∈ Ω Ω và ** 2 3\ x ∈ Ω Ω . Định lí 2.3.2
Cho ΩR1R, ΩR2R, và ΩR3R là ba tập mở bị chặn trong E sao cho
1 2
1, , 3
θ∈ Ω Ω ⊂ Ω Ω ⊂ Ω . Cho ánh xạ A P: ∩ Ω Ω →( 3\ 1) P là hoàn toàn liên tục. Giả sử rằng, Ax ≥ x ,∀ ∈ ∩ ∂Ωx P 1; Ax ≤ x và Ax ≠ x, ∀ ∈ ∩ ∂Ωx P 2;
3
,
Ax ≥ x ∀ ∈ ∩ ∂Ωx P . Khi đó, A có ít nhất hai điểm bất động xP
*P P và xP ** P trong 3 1 ( \ ) P∩ Ω Ω , hơn nữa, * 2\ 1 x ∈Ω Ω và x**∈Ω Ω3\ 2. Bổ đề 2.3.1
Cho X là một co rút của không gian Banach thực E và XR1R là một co rút lồi, bị chặn của X. Cho U là tập mở không rỗng của X và U ⊂ XR1R. Giả sử rằng :
A : XR1R→ X là hoàn toàn liên tục, A(XR1R) ⊂ XR1R và Akhông có điểm bất động trên
XR1R\U. Khi đó
i(A, U, X) = 1 (2.3.1)
Chứng minh
Do co rút của không gian Haussdorff phải là tập đóng nên XR1R là đóng trong X
và U ⊂ X1. Do đó, theo định lý 2.2.2 ta có
i(A, U, X) = i(A, U, XR1R) (2.3.2)
i(A, XR1R, XR1R) = i(A, U, XR1R) (2.3.3)
Chọn xR0R∈U ⊂XR1R và đặt H(t, x) = txR0R + (1 – t) Ax.
Do XR1R là tập lồi , ta có A : [0, 1] × XR1R→ XR1R là hoàn toàn liên tục. Xem XR1R như là tập mở, bị chặn của chính XR1R, biên của XR1R trong XR1R là rỗng. Theo tính chất bất biến đồng luân thì
i(A, XR1R, XR1R) = i(xR0R, XR1R, XR1R) = 1 (2.3.4)