Khi mô hình một miền ứng dụng, ta xây dựng TBox gọi là T bằng cách định nghĩa các khái niệm mới, kiểm tra “bài toán thoả” của các khái niệm đó được coi là suy luận mấu chốt. Một số suy luận quan trọng khác có thể rút gọn về “bài toán thoả”. Chẳng hạn để xác định mô hình là đúng hoặc để tối ưu hoá câu hỏi được thiết lập là những khái niệm, ta cần biết khái niệm nào bao quát hơn khái niệm nào, ta gọi đó là “bài toán bao hàm”. Một khái niệm C được bao hàm bởi khái niệm D nếu trong tất cả các mô hình của T có tập ký hiệu bởi C là một tập con của tập ký hiệu bởi D. Tiếp đến ta quan tâm đến mối quan hệ giữa các khái niệm là “bài toán tương đương” và “bài toán không giao”. Các bài toán này được định nghĩa một cách hình thức như sau:
Cho T là một TBox:
• Bài toán thoả: Một khái niệm C là thoả mãn theo T nếu như tồn tại một mô hình I của T mà CI≠;. Ta cũng nói rằng khi đó I là mô hình của C.
• Bài toán bao hàm: Một khái niệm C bị bao hàm bởi khái niệm D theo
T, nếu CI µ DI với mọi mô hình I của T. Khi đó ta ký hiệu là C v T D hoặc T
j= C v D.
• Bài toán tương đương: Hai khái niệm C và D là tương đương theo T
nếu CI = DI với mọi mô hình I của T . Khi đó ta ký hiệu là C ´T D hoặc T j= C ´ D.
• Bài toán không giao: Hai khái niệm C và D là không giao nhau theo T nếu như CI\ DI = ; với mọi mô hình I của T.
Xét ví dụ trong Hình 1.2, Person bao hàm Woman, cả Woman và Parent bao hàm Mother, Mother bao hàm Grandmother. Hơn nữa, các cặp Woman và Man, Father và Mother là không giao nhau.
Mệnh đề 1.3. [8] Chuyển về bài toán bao hàm Xét hai khái niệm C và D:
• C không thoả mãn , C bị bao hàm bởi ?.
• C và D tương đương , C bị bao hàm bởi D đồng thời D bị bao hàm bởi C.
• C và D không giao nhau , C u D bị bao hàm bởi ?.
Mệnh đề 1.4. [8]Chuyển về bài toán không thoả Xét hai khái niệm C và D:
• C bị bao hàm bởi D , C u:D là không thoả mãn.
• C và D là tương đương , cả (C u :D) và (:C u D) là không thoả mãn.
• C và D không giao nhau , C u D là không thoả mãn.
Mệnh đề 1.5. [8] Xét hai khái niệm C và D, các trường hợp sau đây là tương đương nhau:
• C không thoả mãn;
• C và ? là tương đương;
• C và > không giao nhau.