: Ff X Y Y th ỏ a mãn f
TRONG TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ
3.1.ĐỊNH NGHĨA
Một trường k được gọi là một trường đĩngđại sốnếu mọi đa thức khác hằng
f k X cĩ ít nhất một nghiệm trong k
Nhận xét
Từđịnh nghĩa trên, ta cĩ một đa thức bậc n trong trường đĩng đại số sẽ cĩ đủ n nghiệm trong k nếu mỗi nghiệm được tính số lần bằng số bội của nĩ. Một thí dụ điển hình về trường đĩng đại số là tập số phức ℂ.
3.2.ĐỊNH NGHĨA
Nếu k và K là các trường và k là một trường con của K. Chúng ta nĩi rằng K là một mở rộng của k, ký hiệu là K k| . Bậc của mở rộng, ký hiệu là K k: là số chiều dimk K . K k| là mở rộng đại số nếu với mọi phần tử của K, tồn tại một đa thức khác hằng f k X sao cho f 0 3.3. BỔĐỀ ( TOWER LAW) Nếu ta cĩ mở rộng trường k K L khi đĩ L k: L K K k: : Chứng minh
Cho ai là một cơ sở của L trên K và đặt bj là cơ sở của K trên k. Cho v L
khi đĩ tồn tại i K sao cho vi ia với mỗi i, tồn tại ij k sao cho
i ij jb . Vì thế vij j ib a . Do đĩ, b aj i là một tập sinh của L trên k. . Vì thế vij j ib a . Do đĩ, b aj i là một tập sinh của L trên k. Từ sự độc lập tuyến tính, ij j ib a 0 với ijk. Khi đĩ ij jb a i 0 . Bởi vì ij jb K, nĩ phải là 0 theo tính chất độc lập tuyến tính của a . Cuối cùng,
0
ij jb
kéo theo ij 0 theo tính chất độc lập tuyến tính của bj . Do đĩ, chúng ta cĩ thể kết luận rằng b aj i tạo thành một cơ sở của L trên k, đĩ là đpcm ∎ .
Chú ý rằng ở phần trên chúng ta khơng dùng tính chất giao hốn của trường vì thế kết luận trên cũng đúng cho các modul trên vành chia.
3.4.ĐỊNH NGHĨA.
K là bao đĩng đại số của k nếu K k| là mở rộng đại số và K là trường đĩng
đại số.
3.5. ĐỊNH LÝ
Với mọi trường k, bao đĩng đại số K của k là duy nhất sai khác một đẳng cấu.
3.6.MỆNH ĐỀ
Cho k là một trường đĩng đại số. Nếu D là k đại số chia hữu hạn chiều, khi đĩ k = D.
Chứng minh :
Rõ ràng là kD. Đặt ndimk D và x D . Khi đĩ, 1, , ,...,x x2 xn là độc lập tuyến tính. Tồn tại a a0, ,...,1 an khơng đồng thời bằng 0 sao cho
2
0 1 2 ... n 0
n
a a x a x a x . Do đĩ, tồn tại một đa thức khơng vơ hạn fk X sao cho f x 0. Nhưng k là một trường đĩng đại số, vì thế x ∈ k. Suy ra, Dk và ta cĩ thể kết luận rằng k = D. ∎
3.7.HỆ QUẢ
Nếu k là trường đĩng đại số, B(k) là một nhĩm tầm thường (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh
Theo mệnh đề 3.6, ta cĩ k-đại số chia hữu hạn chiều duy nhất là k. Do đĩ, tồn tại duy nhất một lớp tương đương trong B(k), đĩ là k . Do đĩ, B(k) là một nhĩm tầm thường.
Trong trường hợp đặc biệt chúng ta thấy rằng B(ℂ) cũng là một nhĩm tầm thường bởi vì ℂ là một trường đĩng đại số.