góc BAC,CAD, DAB  đồng phẳng.

Bài 679: Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng

chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A, B, C, D.

a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).

b) Chứng minh ABCD là hình bình hành. c) Chứng minh: AA + CC = BB + DD.

Bài 680: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh (G1G2G3) // (BCD).

b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G1G2G3). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S.

c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.

HD: b) 4S

Bài 681: Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của AB. a) Chứng minh CB // (AHC).

b) Tìm giao điểm của AC với (BCH).

c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.

HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC, BC, AB, AB, AC theo các tỉ số 1, 1, 3, 1

3, 1.

Bài 682: Cho hình hộp ABCD.ABCD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA) và (BDC) song song.

b) Chứng minh đường chéo AC đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA, BDC. Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC làm ba phần bằng nhau.

c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(ABG2). Thiết diện là hình gì? HD: c) Hình bình hành.

Bài 683: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Trên AB, CC, CD, AA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0  x  a).

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định.

b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định. Tìm x để (MNPQ) // (ABC).

c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.

b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và AD. x = a

c) Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O. Chu vi nhỏ nhất: 3a 2; chu vi lớn nhất: 2a( 2+ 1).

Bài 684: Cho lăng trụ ABC.ABC.

a) Tìm giao tuyến của (ABC) và (BAC).

b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (AAN) và giao điểm của MN với mp(ABC).

Bài 685: Cho lăng trụ ABC.ABC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (BCA) và (CAB) có một điểm chung O ở trên đoạn GG nối trọng tâm ABC và trọng tâm ABC. Tính OG

OG. HD:

12 2

Bài 686: Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a.

Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết  0

(AB, CE)60 . a) Tính 2AC2 – AD2 theo a. a) Tính 2AC2 – AD2 theo a.

b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất.

c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.

d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhỏ nhất. HD: a) Gọi F là trung điểm của AD.

Xét  0  0

CEF60 ,CEF 120  2AC2 – AD2 = 6a2 hoặc –2a2.

b) S = x(a – x) 3; x a

2  2 c) x =

a2 2

d) OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.

O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O là hình chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD).

Bài 687: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC.

a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình thang cân.

b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: 4a x y 3a

3    2 .

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.

HD: b) SAMN = SAMI + SANI c) 2a s 2 8as

. s

4 3



 .

Bài 288: Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt

nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C. a) Tìm giao điểm D của SD với (P).

b) Tìm điều kiện của (P) để AB // CD.

c) Với điều kiện nào của (P) thì ABCD là hình bình hành? CMR khi đó:

SA SC SB SD SA SC SB SD        d) Tính diện tích tứ giác ABCD. HD: b) (P) // SE.

c) (P) // (SEF). Gọi G = ACBD. Chứng minh: SA SC 2SG

SA SC SG      d) SABCD = 2 a 3 32 .

Bài 689: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt (P) tại A và B. Đường thẳng () thay đổi luôn song song với (P), cắt d1 tại M, d2 tại N. Đường thẳng qua N và song song d1 cắt (P) tại N.

a) Tứ giác AMNN là hình gì? Tìm tập hợp điểm N. b) Xác định vị trí của () để MN có độ dài nhỏ nhất.

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định khi M di động.

d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN).

HD: a) Hình bình hành. Tập hợp các điểm N là d3, giao tuyến của (P) với mặt phẳng qua d2 và song song với d1.

b) MN nhỏ nhất khi AN vuông góc d3 tại N.

d) 2

3a8 8

Bài 690: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di

động trên AD và SC sao cho: MA PS x

MD  PC (x > 0).

a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định (P). b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.

c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với (SAD).

d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích SAB (k > 0 cho trước). HD: a) Mặt phẳng (SAB). c) Phương của SB; x = 1.

d) x = 1 k 1 k

k     

(0 < k < 1).

Bài 691: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB =

SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SO. Đặt AM k