Tứ giác điều hoà

Định nghĩa 2.8. Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn được gọi là tứ giác điều hoà, nếu các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại A và

C cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng (BD), và ngược lại, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại các điểm B và D căt nhau tại một điểm trên đường thẳng AC.

Định nghĩa 2.9. Tứ giác ABCD nội tiếp và thoả mãm AB

AD =

CB CD

được gọi là tứ giác điều hoà.

Định lý 2.10. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hoà khi và chỉ khi

AB.CD = AD.BC. (2.43)

Chứng minh.

(a) Phần thuận. Giả sử các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD tại A và C cắt nhau tại P nằm trên đường thẳng BD. Khi đó, hai tam giác ∆ABP,∆DAP đồng dạng, nên

AB AD =

BP

AP . (2.44)

Tương tự, hai tam giác ∆CBP,∆DCP đồng dạng, nên

DC BC = CP BP = AP BP. (2.45) Từ (2.44) và (2.45) suy ra AB AD. DC BC = 1 ⇔ AB.DC = AD.BC. (2.46)

(b) Phần đảo. Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có tính chất (2.10). Gọi E, F lần lượt là chân các đường phân giác trong và ngoài của góc B, suy ra cũng là chân các đường phân giác trong và ngoài của góc D. Dựng đường tròn Apollonius tâm (I) đường kính EF. Rõ ràng

B và D thuộc đường tròn (I). Vì (ACEF) = −1 và I là trung điểm của

EF, nên IB2 = IE2 = IA.IC. Suy ra IB là tiếp tuyến của (O) tại B. Tương tự, ta cóID là tiếp tuyến của (O) tạiD. Tương tự các tiếp tuyến của (O) tại A và C gặp nhau tại một điểm trên đường thẳng BD.

Nhận xét. Nhận xét rằng hệ thức (2.46) có thể dùng làm định nghĩa

tứ giác điều hoà.