3 Mối quan hệ giữa lý thuyết đồ thị và giả thuyết Erdo ¨ s-
3.2.2 Một số khẳng định
4 - lỗ và −→pq là rỗng
Chứng minh Cho −xy→ là một cung của A
i với i ∈ [l − 2]. Lấy S :=
{x, y, p, q}. Vì p và q là điểm trong của conv(Ai), cả hai x, y là các điểm góc của S. Ta có p, q là các điểm góc của S, nếu không −xy→ là không rỗng.
Do đó S ở vị trí lồi chặt. S là rỗng theo sự duy nhất của Ai+1. Vì thế, S
là 4 - lỗ.
Giả sử −→pq là không rỗng, tức là: ∆ (x, y, z)∩A
i+1 6= ∅. Lấy r là một điểm trong ∆ (x, y, z)∩Ai+2 gần nhất tới pq. Thế thì, ∆ (x, y, z)∩ P = ∅. Do
{x, y, p, q}là 4 - lỗ, nên {x, y, r, p, q} là 5 - lỗ như minh họa Hình 6b. Điều mâu thuẫn này chứng minh rằng −→pq là rỗng.
Như minh họa Hình 7a - 7c ta nói −→pq theo sau −xy→ là: •Liên kết đôi nếu p∈ xz và q ∈ yz.
•Liên kết trái nếu p ∈ xz và q 6∈ yz
•Liên kết phải nếu p 6∈ xz và q ∈ yz
Hình 7.
Khẳng định 2 Nếu−→pq là theo sau của cung rỗng −xy→ thì−→pq hoặc là liên
kết đôi hoặc là liên kết trái hoặc là liên kết phải.
Chứng minh Giả sử rằng −→pq không là liên kết đôi cũng không là liên
kết phải cũng không là liên kết trái như trong Hình 7d. Do −xy→ là rỗng nên
p 6∈ ∆ (x, y, z) và q 6∈ ∆ (x, y, z). Đặt D := P ∩ ∆[x,y,z]− {p, q}. Như vậy, z ∈ D và D 6= ∅. Lấy điểm r là điểm thuộc D gần pq nhất. Khi ấy,
{x, y, r, p, q} là 5 - lỗ (điều này là mâu thuẫn).
Giả sử rằng A1 không có cung rỗng. Nghĩa là, ∆ (x, y, z)∩A2 6= ∅ với mỗi cung −xy→ của A
1. Ta thấy ∆ (x, y, z)∩ ∆ (p, q, z) = ∅ với các cung là khác biệt −xy→ và −→pq của A
1 (do những tam giác này là mở). Do đó, |A2| ≥ |A1|,
điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của A1. Bây giờ ta giả sử rằng một cung −−→x
1y1 nào đó của A1 là rỗng. Với mọi
i = 2,3, ..., l−1 lấy −x−→
iyi kéo theo của cung −−−−−→x
i−1yi−1. Theo Khẳng định 1 trên (tại mỗi bước lặp), cung −xiyi−→ là rỗng. Với i ∈ [2, l −2] nào đó, cung
−−→
xiyi không là liên kết đôi, nếu ngược lại thì {x1, x2, ..., xl−2, z} là những điểm thẳng hàng và {y1, y2, ..., yl−2, z} là những điểm thẳng hàng. Suy ra {x1, x2, ..., xl−1, z} hoặc {y1, y2, ..., yl−1, z} thẳng hằng. Giả sử i là số nguyên dương bé nhất trong [2, l−2] sao cho −x−→
iyi không là liên kết đôi. Không làm mất tính tổng quát, coi −x−→
iyi là liên kết trái. Mặt khác, −−→x
jyj không là liên kết trái với mọij ∈ [i+1, l−1], nếu không thì
{x1, x2, ..., xl−1, z} là những điểm thẳng hàng. Lấy j là số nguyên dương bé nhất trong j ∈ [i+ 1, l−1] sao cho −−→x
jyj không là liên kết trái. Khi ấy,
−−−−−→
xj−1yj−1 là liên kết trái và −−→x
jyj không là liên kết trái. Từ đó, suy ra rằng:
{xj−2, yj−2, yj−1, yj, xj−1} là 5 - lỗ như minh họa Hình 8. Điều mâu thuẫn này chứng minh rằng P chứa l điểm thẳng hàng hoặc 5 - lỗ.
Hình 8.
Chúng ta thấy rằng cận trên |P| trong Định lý 3.1.3 còn xa mới là tối ưu. Như đã biết (xem [15], [24]), Tất cả các tập điểm đã biết với tối đal điểm thẳng hàng và không có 5 - lỗ cóO(l2)điểm, lướil×llà một ví dụ.
Hình 9. Đồ thị nhìn thấy được của lưới 5×5.
Xem ([15], [24]) cho những ví dụ khác. Bài toán mở :
Với những giá trị nào của l, tồn tại số nguyên dương n sao cho mọi tập ít nhất n điểm trong mặt phẳng chứa l điểm thẳng hàng hoặc 6 - lỗ. Bài toán này đúng với l = 3 theo Định lí về lục giác rỗng. Nếu câu hỏi này là đúng với một giá trị cụ thể nào đó của l thì Giả thuyết "Big Line or Big Clique" đúng với k = 6 và với chính giá trị của l ấy. Với k ≥ 7 các phương pháp khác nhau là cần thiết bởi vì có các tập điểm ở vị trí tổng quát mà không có 7 - lỗ.
Kết luận
Luận văn cố gắng phác thảo mối quan hệ chặt chẽ và thú vị giữa Lí thuyết Đồ thị, Định lí Ramsey và Giả thuyết Erdo¨s -Szekeres dựa trên các tài liệu [9], [10],.... Đặc biệt là các chứng minh Định lí Ramsey nhờ ngôn ngữ đồ thị, chứng minh Định lí Ramsey dưới ngôn ngữ tập hợp và chứng minh Bài toán Erdo¨s -Szekeres cho một số trường hợp riêng nhờ Định lí Ramsey.
Đồng thời luận văn cũng trình bày tóm lược bài báo gần đây (2011) của 10 tác giả "Zachary Abel, Brad Ballinger, Prosenjit Bose, Sébastien Col- lette, Vida Dujmovi´c, Ferran Hurtado, Scott D. Kominers, Stefan Langer- man, Attila Pór, and David. R. Wood", đã sử dụng Định lí Erdo¨s -Szekeres suy rộng để trả lời một câu hỏi mở của giả thuyết "Big Line or Big Clique" trong lí thuyết đồ thị.
Trong đề tài này, còn rất nhiều câu hỏi mở. Hy vọng nó sẽ được quan tâm nhiều hơn nữa.
Tài liệu tham khảo
[1 ] Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức cơ sở về Graph hữu hạn, Nhà xuất bản giáo dục, 2003.
[2 ] Vũ Đình Hòa, Định lí và vấn đề về đồ thị hữu hạn, Nhà xuất bản giáo dục, 2003.
[3 ] Đoàn Hữu Dũng (1967), Lời giải của bài toán Erdo¨s trong một trường hợp đặc biệt (với lời nhận xét của Hoàng Chúng), Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 33, tháng 6, 1967, trang 14-16.
[4 ] Đoàn Hữu Dũng, Nguyễn Tiến Thịnh. Bài toán Erdo¨s cho ngũ giác lồi suy rộng. Tạp chíToán học và Tuổi trẻ, số 41, tháng 8, 2011, trang 12-14.
[5 ] Hoàng Chúng, Lời giải bài toán 154/66, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, số 29, tháng 2, 1967.
[6 ] Đoàn Hữu Dũng, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Tiến Thịnh (2010), Giả thuyết Erd¨os - Szekeres hay Bài toán có kết hạnh phúc, Bản thảo, 150 trang.
[7 ] W. E. Bonnice (1974), On convex polygons determined by a finite planar set, Amer. Math. Monthly 81, p. 749 - 752, MR 50:8301. [8 ] Justin Walker, A brief introduction to Ramsey theory of Graphs,
2008.
[9 ] P. Erdo¨s, G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry, Com- positio Mathematica, Tome 2 (1935), p. 463-470. In lại trong: Paul Erd˝os: The Art of Counting: Selected Writings (Spencer, J., ed.), pp. 3–12, MIT Press, Cambridge, MA, 1973. In lại trong: Classic Pa- pers in Combinatorics (I. Gessel and G.-C. Rota, eds.), pp. 49–56, Birkh¨auser, Basel, 1987. MR 58:27144; MR 88c:01055.
[10 ] Zachary Abel, Brad Ballinger, Prosenjit Bose, Sébastien Collette, Vida Dujmovi´c, Ferran Hurtado, Scott D. Kominers, Stefan Langer- man, Attila Pór, and David. R. Wood, Every large point set con- tains many collinear points or an empty pentagon, arXiv:0904.0262v2 [math.CO] 24 Apr 2009, 1-16 hoặc Graphs and Combinatorics 27(1): 47-60 (2011).
[11 ] Louigi Addario Berry, Cristina Fernandes, Yoshiharu Kohayakwa, Josn Coelhode Pina, Yoshiko Wakabayashi, On a geometric Ramsey style problem, 2007.
[12 ] Tobias Gerken,Empty convex hexagons in planar point sets, Discrete Comput, Geom, 39 (1-3): 239-272, 2008.
[13 ] Joseph D. Horton, Sets with no empty convex 7-gons, Canad, Math, Bull, 26 (4): 482-484, 1983.
[14 ] P. Erdo¨s,On some problems of elementany and Combinatorics, Ann, Mat, Pura Appl 4 (103): 99-108, 1975.
[15 ] Jan Kára, Attila Pór , David R.Wood, On the chromatic number of the visibility graph of a set of point in the plane, Discrete Comput, Geom, 34 (3): 497-506, 2005.
[16 ] Jiri Matousek, Lectures on Discrete Geometry, vol, 212 of Graduate texts in Mathematics, Springer, 2002, ISBN 0-387-95373-6.
[17 ] Carlos M. Nicolás, The empty hexagon theorem, Discrete Comput, Geom, 38 (2): 389-397, 2007.
[18 ] Géza Tóth, Pavel Valtr,The Erdos - Szekeres theorem: upper bounds¨
and related results, In combinatorial and computational geometry, vol, 52 of Math, Sci, Res, Inst, Publ, pp.557-568, Cambridge Univ, Press, 2005.
[19 ] Ronalnd L. Graham, Bruce L. Rothschild, Joel H. Spencer, Ramsey theory, John Wiley, 1980.
[20 ] Pavel Valtr, On empty hexagons, In surveys on discrete and compu- tational geomtry, vol, 453 of contemp, Math, pp.433-441, Amer, Math, Soc, 2008.
[21 ] George Szekeres and Lindsay Peters (2006),Computer solution to the 17-point Erdos - Szekeres problem¨ , The ANZIAM Journal 48: 151–164. [22 ] Knut Dehnhardt, Heiko Harborth, and Zsolt Lángi (2009), A partial
proof of the Erdos - Szekeres conjecture for hexagons.¨
[23 ] F.R.L. Chung, R.L.Graham, Forced convex n-gons in the place, Dis- crete Comput.Geom. 19 :367-371, 1998.MR 99e:52020
[24 ] David Eppstein.Happy endings for flip graphs, In Proc, 23rd Annual Symposium on Computational Geometry, pp.92-101, ACM, 2007. [25 ] Stanley Rabinowitz, Consequences of the pentagon property, Geom-