2.1. CÊu tỰo cựa chụng minh. Mải chụng minh bÊt kú ệÒu cã cÊu tỰo nh−
nhau vắi ba bé phẺn chÝnh:
2.1.1. LuẺn ệÒ. Lộ luẺn ệiÓm ệở ệ−ĩc ệỡnh hừnh, phịt biÓu râ rộng bỪng ngền tõ, nh−ng tÝnh chẹn thùc cựa nã cưn cẵn phời ệ−ĩc xịc minh. Trong nhiÒu khoa hảc luẺn ệÒ th−êng lộ giờ thuyạt cã ý nghỵa lý luẺn vộ thùc tiÔn.
Mét luẺn ệÒ ệở ệ−ĩc chụng minh cã thÓ ệ−ĩc tịi sỏ dông nh− lộ luẺn cụ. 2.1.2. LuẺn cụ. Lộ nhọng luẺn ệiÓm mộ tõ ệã rót ra tÝnh chẹn thùc hay
giờ dèi cựa luẺn ệÒ. LuẺn cụ lỰi bao găm: dọ kiỷn, ệỡnh nghỵa, tiến ệÒ vộ ệỡnh ệÒ, cịc ệỡnh luẺt ệở ệ−ĩc chụng minh tõ tr−ắc.
Trong thùc tạ, mét luẺn ệÒ cã thÓ ệ−ĩc chụng minh nhê cịc luẺn cụ khịc nhau, cưn mét luẺn cụ cã thÓ sỏ dông ệÓ chụng minh nhọng luẺn ệÒ khịc nhau.
2.1.3. LuẺn chụng. Quị trừnh sớp xạp, tữ chục cịc luẺn cụ theo mỰch
lềgÝc xịc ệỡnh gải lộ luẺn chụng. X−ểng sèng lềgÝc cựa luẺn chụng lộ quan hỷ kĐo theo. Nạu luẺn ệÒ ệ−ĩc rót ra mét cịch lềgÝc tõ cịc luẺn cụ, thừ ệiÒu ệã cã nghỵa lộ, cã cể sẻ ệẵy ệự cho nã; vộ ng−ĩc lỰi, nạu cịc luẺn cụ lộ cẵn vộ ệự, thừ tÊt yạu lềgÝc rót ra luẺn ệÒ tõ chóng.
Nạu nh− cịc phịn ệoịn thùc hiỷn chục nẽng cựa luẺn ệÒ vộ luẺn cụ, thừ chục nẽng luẺn chụng do cịc suy luẺn thùc hiỷn. Nh− vẺy, chụng minh lộ hỷ thèng cịc suy luẺn ệ−ĩc sớp xạp theo cịch xịc ệỡnh, mộ kạt luẺn cuèi cỉng cựa chuẫi suy luẺn Êy chÝnh lộ luẺn ệÒ.
2.2. Cịc kiÓu chụng minh
Phô thuéc vộo môc ệÝch, cịch chụng minh vộ kiÓu suy luẺn dỉng trong luẺn chụng cã thÓ chia chụng minh ra thộnh ba nhãm chung nhÊt.
2.2.1. Chụng minh vộ bịc bĨ
Chụng minh cã cịc môc ệÝch khịc nhau Ờ luẺn chụng cho tÝnh chẹn thùc cựa luẺn ệÒ hoẳc tÝnh giờ dèi cựa nã. Phô thuéc vộo môc ệÝch Êy mộ cã hai kiÓu chụng minh: chụng minh theo nghỵa riếng cựa tõ nộy vộ bịc bĨ.
a) Chụng minh theo nghỵa riếng cựa tõ lộ luẺn chụng cho tÝnh chẹn thùc
cựa luẺn ệÒ.
b) Bịc bĨ. Lộ luẺn chụng cho tÝnh giờ dèi hoẳc khềng chụng minh ệ−ĩc cựa luẺn ệÒ nhê cịc luẺn cụ chẹn thùc.
Bịc bĨ cã cịc dỰng khịc nhau. ậã cã thÓ lộ bịc bá luẺn ệÒ, lộ phế phịn luẺn cụ, lộ chử ra sù thiạu mèi liến hỷ giọa cịc luẺn cụ vộ luẺn ệÒ. NhiÒu khi bịc bá mang tÝnh toộn diỷn: ệông ệạn tÊt cờ cịc bé phẺn cựa phĐp chụng minh.
2.2.2. Chụng minh trùc tiạp vộ giịn tiạp lộ cịc kiÓu chụng minh cã ệ−ĩc do phẹn chia dùa vộo cịch luẺn chụng.
a) Chụng minh trùc tiạp lộ chụng minh, trong ệã ng−êi ta tữ chục cịc
chụng minh trùc tiạp nhiỷm vô ệẳt ra lộ: 1) từm kiạm nhọng luẺn cụ ệ−ĩc thõa nhẺn lộ cã tÝnh thuyạt phôc cao; vộ 2) thiạt lẺp mèi liến hỷ lềgÝc giọa cịc luẺn cụ từm ệ−ĩc vắi luẺn ệÒ.
b) Chụng minh giịn tiạp lộ chụng minh, trong ệã cịc luẺn cụ ệ−ĩc tữ
chục ệÓ luẺn chụng cho tÝnh chẹn thùc cựa luẺn ệÒ bỪng cịch luẺn chụng cho tÝnh giờ dèi cựa phờn ệÒ. Theo luẺt bội trung, nạu mét trong sè hai luẺn ệiÓm mẹu thuÉn nhau lộ giờ dèi, thừ luẺn ệiÓm kia lộ chẹn thùc. Phờn ệÒ giờ dèi cã nghỵa lộ, luẺn ệÒ chẹn thùc. Nh− vẺy, chụng minh giịn tiạp trời qua cịc giai ệoỰn sau: 1) nếu phờn ệÒ vộ tõ ệã rót ra cịc hỷ quờ ệÓ mong từm trong sè chóng Ýt nhÊt lộ mét giờ dèi; 2) chử ra, ệóng lộ trong sè cịc hỷ quờ cã hỷ quờ giờ dèi; 3) kạt luẺn rỪng, phờn ệÒ khềng ệóng; 4) tõ sù giờ dèi cựa phờn ệÒ rót ra kạt luẺn: luẺn ệÒ chẹn thùc Ờ lộ ệiÒu cẵn chụng minh.
Mét cịch ngớn gản cịc b−ắc trến ệ−ĩc mề tờ bỪng cềng thục cựa luẺt chụng minh giịn tiạp nh− sau: (7A → B) ∧ (7A → 7B) → A
Chụng minh giịn tiạp cã mét sè dỰng nh− phờn chụng hoẳc phẹn liỷt. * Chụng minh phờn chụng lộ cịch chụng minh, mộ b−ắc ệẵu từm cịch
chụng minh tÝnh giờ dèi cựa phờn ệÒ mẹu thuÉn vắi luẺn ệÒ cẵn chụng minh; sau ệã dÉn phờn ệÒ giờ sỏ Êy ệạn mẹu thuÉn vắi chẹn lý ệở ệ−ĩc xịc lẺp, vộ
cuèi cỉng tõ tÝnh giờ dèi cựa phờn ệÒ rót ra kạt luẺn vÒ tÝnh chẹn thùc cựa luẺn ệÒ phời chụng minh.
Nãi riếng, trong chụng minh phờn chụng cã mét cịch gải lộ dÉn ệạn phi
lý. Nạu nh− tõ mỷnh ệÒ A rót ra ệ−ĩc cờ B, lÉn phự ệỡnh cựa B (7B), thừ khi ệã
phự ệỡnh cựa A sỳ lộ chẹn thùc: (A → B) ∧ (A → 7B) → 7A.
Bịc bĨ còng cã thÓ ệ−ĩc tiạn hộnh d−ắi hừnh thục chụng minh giịn tiạp bỪng phờn chụng. Hừnh thục bịc bĨ phữ biạn nhÊt lộ rót tõ luẺn ệÒ cẵn bịc bĨ ra nhọng hỷ quờ mẹu thuÉn vắi chẹn lý. Dùa vộo tÝnh chÊt cựa t− duy ệóng ệớn lộ khềng ệ−ĩc chụa mẹu thuÉn lềgÝc, cho nến, nạu nh− chử cẵn mét hỷ quờ lềgÝc cựa luẺn ệÒ lộ giờ dèi, thừ chÝnh luẺn ệÒ Êy còng giờ dèi.
Ng−ĩc lỰi, ệÓ xịc lẺp tÝnh giờ dèi cựa luẺn ệÒ, thừ cã thÓ ệi chụng minh tÝnh chẹn thùc cựa phờn ệÒ.
Trong tÊt cờ cịc chụng minh giịn tiạp nếu trến chử cã hai từnh thạ: luẺn ệÒ vộ phờn ệÒ. Nh−ng nạu sè cịc khờ nẽng khềng hỰn chạ ẻ hai: luẺn ệiÓm cẵn phời chụng minh vộ phự ệỡnh cựa nã, mộ nhiÒu hển, thừ chóng ta phời từm cịch chụng minh khịc nh− giắi thiỷu d−ắi ệẹy.
* Chụng minh phẹn liỷt. Trong cịch chụng minh nộy tÝnh chẹn thùc cựa luẺn ệÒ ệ−ĩc xịc ệỡnh bỪng con ệ−êng loỰi trõ tÊt cờ cịc giời phịp ệèi lẺp vắi nã. VÝ dô, ệÒ chụng minh hai vẺt bỪng nhau, ta chụng minh rỪng vẺt cẵn phời chụng minh khềng lắn hển, mộ còng khềng nhá hển vẺt so sịnh vắi nã, vẺy nã chử cã thÓ bỪng vắi vẺt kia. Quan trảng ẻ ệẹy lộ phời tÝnh hạt cịc ph−ểng ịn, khờ nẽng cã thÓ xÈy ra, tục lộ ệÓ phĐp tuyÓn phời ệẵy ệự, ỘkhĐp kÝnỢ.
2.2.3. Cẽn cụ vộo nhãm suy luẺn dỉng trong luẺn chụng mộ ng−êi ta cưn chia ra thộnh cịc kiÓu chụng minh nh− chụng minh diÔn dỡch, chụng minh quy nỰp, chụng minh loỰi suy, vộ chụng minh hẫn hĩp.
Cuèi cỉng lộ sể ệă cựa chụng minh:
A1, A2, . . . An → T, trong ệã T Ờ luẺn ệÒ; A Ờ luẺn cụ; Ộ→Ợ lộ chử quan hỷ kĐo theo giọa cịc luẺn cụ vộ luẺn ệÒ.