Định nghĩa 2.2.1. Trong mặt phẳngR2 cho hai điểm P0(0; 0), P1(1; 0). Một điểm P ∈ R2 được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compa nếu tồn tại dãy hữu hạn P0, P1, . . . , Pn sao cho Pn = P và với mọij ≥ 2điểm Pj xác định từ Sj−1 = {P0, P1, . . . , Pj−1} bởi một trong ba phép dựng sau:
- Giao của hai đường thẳng phân biệt, trong đó mỗi đường thẳng qua hai điểm bất kỳ của Sj−1.
- Giao của một đường thẳng qua hai điểm của Sj−1 và đường tròn có tâm tại một điểm Sj−1 có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm trong Sj−1.
- Giao của hai đường tròn phân biệt, trong đó mỗi đường tròn có tâm tại điểm của Sj−1 có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm trong Sj−1.
Định nghĩa 2.2.2. Một đường thẳng được gọi là dựng được nếu nó đi qua hai điểm dựng được, một đoạn thẳng được gọi là dựng được nếu nó đi qua hai điểm dựng được, một đường tròn được gọi là dựng được nếu nó có tâm là một điểm dựng được và có bán kính bằng khoảng cách giữa hai điểm dựng được.
Một số thực x được gọi là dựng được(bằng thước kẻ và compa) nếu
(x; 0) ∈ R2 dựng được. Khi đó độ dài của đoạn thẳng dựng được là số thực dựng được.
Một góc β được gọi là dựng được nếu cosβ là số thực dựng được. Mệnh đề 2.2.1. Điểm (a;b) dựng được khi và chỉ khi a, b dựng được. Chứng minh: Nếu a, b dựng được, tức là các điểm (a; 0),(b; 0) dựng được, suy ra (0;b) dựng được. Điểm (a;b) dựng được vì nó là điểm thứ tư của hình bình hành có ba điểm (0; 0),(a; 0),(0;b) dựng được.
Ngược lại, nếu (a;b) là điểm dựng được, xét hai đường tròn tâm (0; 0)
và (1; 0) đi qua (a;b). Giao của chúng là (a;b) và (a;−b), đường thẳng đi qua hai điểm này cắt trục hoành tại (a; 0) nên (a; 0) dựng được. Điểm
(0;b) dựng được vì nó là đỉnh thứ tư của hình bình hành có ba điểm
(0; 0),(a; 0),(a;b) dựng được, suy ra (0;b) dựng được.
Định lý 2.2.1. Tập tất cả số dựng được là một trường con của trường R. Hơn nữa, nếu c dựng được và c > 0 thì √
c dựng được.
Chứng minh: Gọi E là tập tất cả các số dựng được, cho a, b ∈ E ta có −a ∈ E, ngoài ra do (a; 0) và (b; 0) là dựng được nên điểm giữa Q= (a+b
2 ,0) dựng được. Giao điểm của trục hoành và đường tròn tâm
Q qua (0; 0) là (a+b; 0) do đó a+b dựng được. Suy ra a+b ∈ E. Để chứng minh ab ∈ E, ta chỉ cần xét trường hợp ab 6= 0 và b 6= 1. Do (b −1) dựng được nên điểm (0;b −1) dựng được, do đó (a;b −1)
dựng được. Giao điểm của đường thẳng qua (0;b) và (a;b−1) với trục hoành là điểm (ab; 0). Vậy (ab) dựng được.
Ta chứng minh rằng a−1 ∈ E, nếu a 6= 0. Do a ∈ E ta có 1−a ∈ E, hay điểm (0; 1−a) dựng được, do đó điểm (1; 1−a) dựng được. Đường thẳng qua(0; 1−a) và (1; 1−a) cắt trục hoành tại (a−1; 0). Vậya−1 ∈ E.
Điều này suy ra E là một trường. Cho c ∈ E và c > 0 do 1
2(1 − c) là dựng được, điểm Q(0;1−c
2 )
dựng được. Đường tròn tâm Q qua (0; 1) cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (u; 0) và (−u; 0) với u > 0. Theo Định lý Pythagor, ta có u2 + 1 4(1−c)2 = 1 4(1 +c) 2, suy ra u2 = c dựng được và do đó u = √ c dựng được.
Định lý 2.2.2. Cho P = (α;β) ∈ R2, là một điểm dựng được. Khi đó
Chứng minh: Cho P0, P1, . . . , Pn là một dãy hữu hạn các điểm dựng được. Đặt K0 = K1 = Q và Kj = Kj−1(αj;βj), với 2 ≤ j ≤ n và Pj = (αj;βj). Dễ dàng thấy rằng các số thực αj, βj là nghiệm của đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 có hệ tử trong Kj−1. Do đó [Kj : Kj−1] = 2t với t ∈ N suy ra [Kn : Q] = [Kn : Q(α, β)][Q(α, β) : Q] = 2m, với m ∈ N. Vậy [Q(α, β) : Q] = 2r, với r ∈ N.
Hệ quả 2.2.1. Giả sử một số phức α dựng được bằng thước kẻ và compa. Khi đó α là nghiệm của một đa thức bất khả quy có bậc 2m trên trường hữu tỷ Q.
Chứng minh: Theo Định lý 2.2.2, thì α ∈ F với [F : Q] = 2n. Vì F là một mở rộng bậc hữu hạn của Q nên F là một mở rộng đại số của Q. Gọi p(x) là đa thức tối tiểu của α trên Q. Khi đó [Q(α) : Q] = degp(x)
bởi Định lý 1.1.3, Chương 1. Theo Định lý 1.1.1, Chương 1,
2n = [F : Q] = [F : Q(α)][Q(α) : Q]. Vậy [Q(α) : Q] = degp(x) = 2m(m ≤ n).
Một số bài toán cổ điển về dựng hình.