AM M I O C E F N B M' 1- Tổng hai góc đối bằng 1800
2- Hai góc liên tiếp cùng nhìn một cạnh dới hai góc bằng nhau. 3- Nếu hai cạnh đối diện cuả giác ABCD cắt nhau tại M thỏa mãn: MA.MB =MC.MD ; hoặc hai đờng chéo cắt nhau tại O thỏa mãn OA.OC = OB.OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp
4- Sử dụng định lý Ptôlêmê
II-
Các ví dụ
Ví dụ1: Cho đờng tròn tâm O và một điểm C ở ngoài đờng tròn đó. Từ C kẻ hai tiếp tuyến
CE ; CF ( E và F là các tiếp điểm) và cát tuyến CMN ( N nằm giữa C và M ) tới đờng tròn.Đ- ờng thẳng CO cắt đờng tròn tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF. Chứng minh rằng:
a, Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn b, =
Giải
a, Do CE là tiếp tuyến của (O) nên:
= (Cùng chắn )
∆CEM ~ ∆CNE .
=
CM.CN =CE2
Mặt Khác , do CE; CF là các tiếp tuyến của (O) nên
AB⊥ EF tại I vì vậy trong tam giác vuông CEO đờng cao EI ta có: CE2 = CI.CO
Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => =
∆CMI ~ ∆CON
=
Tứ giác OIMN nội tiếp
b Kéo dài NI cắt đờng tròn tại M’. Do tứ giác IONM nội tiếp nên : = = sđ
=> = . Do đó: = =
Ví Dụ 2
Cho tam giác ABC có = 450 ; BC =a nội tiếp trong đờng tròn tâm O; các đờng cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đờng thẳng B’C’.
OO' O' A B C C' B'
a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cùng thuộc một đờng tròn b. Tính B’C’ theo a.
Lời giải
a. Do O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên = 2 =900
Từ đó suy ra các điểm O; B’; C’
Cùng thuộc đờng tròn đờng kính BC.Xét tứ giác
nội tiếp CC’OB’ có :
= 1800 -
= 1800 - ( 900 - ) =1350.
Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nên: = = 1350 =1800 -
Hay tứ giác AC’O’B’ nội tiếp.
b. Do = 450 nên ∆BB’A vuông cân tại B’
Vì vậy B’ nằm trên đờng trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB
C’OB’C là hình thang cân nên B’C’ =OC
Mặt khác ∆BOC vuông cân nên: B’C’ =OC = BC2 2 =a22
