Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, chúng ta sẽ giới thiệu ánh xạ giả co chặt và sự tồn tại điểm bất động của lớp các ánh xạ này trong không gian Hilbert.
Cho E là một không gian Banach. Kí hiệu Jq(q > 1) là ánh xạ đối ngẫu từ E vào 2E∗ và được xác định bởi:
Jq(x) =
n
f ∈ E∗| hf, xi = kxkq và kfk= kxkq−1o,
ở đây, E∗ là kí hiệu không gian liên hợp của không gian E. Trong trường hợp q = 2 thì J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và kí hiệu là J.
d-compact, nếu {xn} là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy {T(xn)−xn}
hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk} của dãy {xn} cũng hội tụ mạnh.
• Cho X là một không gian mêtric bất kỳ. Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại một số θ ∈ [0; 1) sao cho
kT(x)−T(y)k ≤ θkx−yk
Như vậy, ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ liên tục Lipschitz và hiển nhiên là liên tục.
Định nghĩa 1.1 (xem [14]) Cho E là một không gian Banach, C là một
tập lồi đóng củaE. Ánh xạ T : C −→ E được gọi là k - giả co chặt, nếu với mọi x, y ∈ D(T), miền xác định của ánh xạ T, tồn tại một hằng số k > 0
và j(x−y) ∈ J(x−y) sao cho:
hT(x)−T(y), j(x−y)i ≤ kx−yk2−kk(x−y)−(T(x)−T(y))k2, (1.22)
trong đó j(x) là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Nếu I là ánh xạ đồng nhất trong E thì bất đẳng thức (1.22) được viết dưới dạng sau:
h(I −T)(x)−(I −T)(y), j(x−y)i ≥ kk(I −T)(x)−(I −T)(y)k2,
(1.23) với mọi x, y ∈ D(T) và j(x−y) ∈ J(x−y).
Trong không gian Hilbert bất đẳng thức (1.22) (và cả (1.23)) tương đương với bất đẳng thức sau:
k T(x)−T(y) k2≤k x−y k2 +λ k(I −T)(x)−(I −T)(y) k2, (1.24)
với mọi x, y ∈ D(T) và λ = 1−k. Lúc này, ánh xạ T được gọi là λ-giả co chặt, với 0≤ λ < 1.
Nhận xét 1.1 Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.24) có dạng:
Như vậy, lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn và lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng của lớp ánh xạ co. Ta biết rằng nếu T là một ánh xạ co từ không gian mêtric đủ X vào chính nó, thì T
có duy nhất một điểm bất động và dãy lặp {xn} xác định bởi x0 ∈ X,
xn+1 = T(xn) hội tụ mạnh về điểm bất động của T. Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn từ một tập con lồi đóng C vào chính nó thì tập điểm bất động của T có thể là tập rỗng. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.1 Kí hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong c0 (c0 là không gian
các dãy số hội tụ tới 0 với chuẩn sup). Ánh xạ T : B −→ B được cho bởi
T x = (1, x1, x2, . . .), với x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ B. Khi đó, T là một ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động. Thật vậy, nếu x∗ = T x∗
thì ta có:
(x∗1, x∗2, x∗3, . . .) = (1, x∗1, x∗2, x∗3, . . .).
Nhưng khi đó x∗i = 1 với mọi i, nên x∗ không thuộc c0. Vậy T không có điểm bất động. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi thêm điều kiện khác, như tính giới nội của tập C. Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 1.7 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi
đóng và giới nội của H, T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T
có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định lý dưới đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Định lý 1.8 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng và giới nội của H. Giả sử rằng T : C −→ C là một ánh xạ không
giãn và d-compact. Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi
Sau đây chúng ta trình bày kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ giả co chặt và tính chất tập điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert.
Định lý 1.9 (xem [11]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng và giới nội trong H. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co
chặt. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C.
Định lý 1.10 (xem [28]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi
đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi, khác rỗng.
1.2.1. Một số phương pháp lặp cơ bản
Trong phần này chúng ta trình bày một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ giả co chặt và họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
• Phương pháp lặp Mann
Phương pháp lặp Mann được Mann W. R. [45] đề xuất vào năm 1953. Với phương pháp này dãy lặp {xn}∞n=0 được xác định như sau:
x0 ∈ C, xn+1 = (1−αn)xn+ αnT xn, n = 0,1,2, . . . , (1.26)
ở đây, {αn}∞n=0 ⊂(0,1).
Để ý rằng, khi αn = γ, với mọi n, thì dãy lặp Mann trở về dãy lặp Krasnoselskij.
Mann đã chứng minh rằng, nếu dãy số {αn}∞n=0 ⊂ (0,1) thỏa mãn điều kiện P∞
n=0αn(1 −αn) = ∞ thì dãy lặp {xn}∞n=0 hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ T, với T là ánh xạ không giãn từ một tập lồi đóng khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó.
Năm 1967, Browder F. E. và Petryshyn W. V. [14] là những người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra được kết quả hội tụ mạnh
cho dãy lặp {xn}∞n=0 tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.11 (xem [14]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi đóng bị chặn của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Khi
đó, với mỗi γ ∈ (1−λ,1), dãy {xn}∞n=0 xác định bởi:
x0 ∈ C, xn+1 = γxn+ (1−γ)T xn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= [γI + (1−γ)T]n(x0), n = 0,1,2, . . .
(1.27)
hội tụ yếu tới điểm bất động của T. Hơn nữa, nếu T là d-compact thì dãy
(1.27) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T.
Năm 1974, Rhoades B. E. [60] đưa ra kết quả sau:
Định lý 1.12 (xem [60]) Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập
lồi, compact của H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt. Giả sử
rằng {αn}∞n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện:
(i) α0 = 1; (ii) 0 < αn < 1, n ≥1;
(iii) P∞
n=1αn = ∞; (iv) lim
n→∞αn = α < 1−λ.
Khi đó, dãy {xn}∞n=0 xác định bởi (1.26) hội tụ mạnh đến điểm bất động
của T.
Năm 2006, Marino G. và Xu H. K. [47] đưa ra kết quả hội tụ yếu của dãy (1.26) tới điểm bất động của ánh xạ λ-giả co chặt trong không gian Hilbert, khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện:
(i) λ < αn < 1;
(ii) P∞
n=0(αn −λ)(1−αn) =∞.
• Phương pháp lặp Ishikawa
Phương pháp lặp Ishikawa được đề xuất bởi Ishikawa S. [33] vào năm 1974. Với phương pháp này, lấy tùy ý x0 ∈ C dãy lặp {xn}∞n=0 được xác định như sau:
x0 ∈ C
yn = (1−βn)xn+βnT xn,
xn+1 = (1−αn)xn +αnT yn, n= 0,1,2, . . .
(1.28)
trong đó, {αn}∞n=0 và {βn}∞n=0 là các dãy số thực trong [0,1].
Để ý rằng khi βn = 0, với mọi n, thì dãy lặp Ishikawa trở về dãy lặp Mann.
Với phương pháp này, tác giả đã chứng minh cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.28) tới một điểm bất động của toán tử giả co Lipschitz trên một tập lồi, compact của không gian Hilbert H, khi các dãy số {αn}∞n=0 và {βn}∞n=0
thỏa mãn điều kiện:
(i) 0≤ αn ≤ βn ≤ 1; (ii) lim
n→∞βn = 0; (iii) P∞ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n=0αnβn = ∞.
• Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp Halpern được Halpern B. [30] đề xuất vào năm 1967. Với phương pháp này dãy lặp {xn}∞n=0 được xác định bởi:
x0 ∈ C, xn+1 = αnu+ (1−αn)T xn, n= 0,1,2, . . . (1.29)
trong đó, u là một phần tử tùy ý thuộc C, {αn}∞n=0 là một dãy số thực trong đoạn [0,1] và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng bị chặn C của không gian Hilbert H. Ông đã có kết quả sau:
Định lý 1.13 (xem [30]) Cho C là một tập lồi đóng bị chặn của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn trên C. Khi đó,
với u ∈ C và dãy số thực {αn}∞n=0 ⊂ [0,1] sao cho αn = n−θ, θ ∈ (0,1), thì
dãy lặp {xn}∞n=0 xác định bởi (1.29) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T.
Năm 1977, Lions J. L. [40] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.29) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert H, khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện:
(L1): lim n→∞αn = 0; (L2): P∞ n=0αn = ∞ và (L3): lim n→∞ | αn −αn+1 | α2 n = 0. Năm 1992, Wittmann R. [71] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.29) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện: (L1), (L2)
và (L4): P∞
n=0 | αn+1 −αn |< ∞.
Sau này, Bauschke H. H. [9] là người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert, bằng cách thay điều kiện (L4) bằng điều kiện (L5): P∞
n=0 | αn+N −αn |< ∞. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.14 (xem [9]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian
Hilbert H và {Ti}Ni=1 : C −→ C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
sao cho F = N T i=1 F ix(Ti) 6= ∅ và thỏa mãn F = F ix(TNTN−1. . . T1) = F ix(T1TN . . . T2) = · · · = F ix(TN−1TN−2. . . T1TN)
Giả sử rằng {αn}∞n=0 là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện: (L1), (L2)
và (L5). Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn}∞n=0 xác định bởi:
xn+1 = αn+1u+ (1−αn+1)T[n+1]xn, n ≥ 0, (1.30)
trong đó T[n] = Tn modN, hội tụ mạnh tới PFu.
Từ kết quả của Bauschke H. H.[9], Takahashi W.[65]đã mở rộng kết quả trên ra không gian Banach lồi đều. Sau này O’Hara J. G. [56]lại có một kết quả khác bằng việc thay điều kiện (L5) bằng điều kiện (L6): lim
n→∞ αn αn+N = 1 hoặc lim n→∞ αn−αn+N αn+N = 0 để có kết quả sau:
Định lý 1.15 (xem [56]) Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian
Hilbert H và {Ti}Ni=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
sao cho F = N T i=1 F ix(Ti) 6= ∅ và F = F ix(TNTN−1. . . T1) = F ix(T1TN . . . T2) =· · · = F ix(TN−1TN−2. . . T1TN)
Giả sử rằng {αn}∞n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện: (L1),
(L2) và (L6). Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy {xn}∞n=0 xác định bởi
xn+1 = αn+1u+ (1−αn+1)T[n+1]xn, n ≥ 0, (1.31) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ở đây T[n] = Tn modN, hội tụ mạnh tới PFu.
• Phương pháp lặp HSD (Hybrid Steepest Descent)
Phương pháp lặp HSD được Yamada I. [77] đề xuất vào năm 2001. Phương pháp này được tác giả đề xuất để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert.
Cho H không gian Hilbert vàT : H −→ H là một ánh xạ không giãn sao cho C = F ix(T) 6= ∅. Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz trên T(H). Cho µ ∈ (0,L2η2) và {λn}n≥1 ⊂ (0,1] là một dãy số thực thỏa mãn các điều kiện:
(C1): lim
n→+∞λn = 0; (C2): P∞n=1λn = +∞ và (C3): lim
n→+∞
λn −λn+1
λ2n+1 = 0.
Lấy tùy ý x0 ∈ H, dãy lặp {xn}∞
n=0 được xác định như sau:
xn+1 = T(xn)−λn+1µF(T(xn)), n = 0,1,2, . . . (1.32)
Với giả thiết trên, Yamada đã chứng minh rằng, dãy lặp (1.32) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1).
Ở đây có thể chọn một dãy {λn}n≥1 thỏa mãn các điều kiện (C1)−(C3)
là λn = 1/nσ với 0 < σ < 1.
Yamada mở rộng kết quả trên cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn {Ti}Ni=1. Với giả thiết C =
NT T i=1 F ix(T i) 6= ∅, thì dãy lặp được xác định như sau: xn+1 = T[n+1](xn)−λn+1µF(T[n+1](xn)), n = 0,1,2, . . . (1.33) trong đó T[k] = Tk modN, với k ≥1. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau:
Định lý 1.16 (xem [77]) Cho H là một không gian Hilbert, Ti : H −→H,
với i = 1,2, ..., N, là một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên H sao cho
C =
NT T i=1
F ix(T i) 6= ∅ và thỏa mãn điều kiện:
C = F ix(TNTN−1. . . T1) = F ix(T1TN. . . T3T2)
=· · · = F ix(TN−1TN−2. . . T1TN)
Giả sử rằng F : H → H là một ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số η
và liên tục Lipschitz với hằng số L trên SNi=1Ti(H). Khi đó, với tùy ý
x0 ∈ H, µ ∈ (0,L2η2) và {λn}n≥1 ⊂ (0,1] thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C4) : P∞n=1 | λn−λn+N |< ∞, thì dãy lặp {xn}n≥0 xác định bởi (1.33)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.1).
Có thể chọn một dãy {λn}n≥1 thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và (C4)
là λn = 1/n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1.2.2. Một số phương pháp lặp khác
Từ phương pháp lặp Mann-Ishikawa, một số tác giả đã có những cải tiến cho lớp các ánh xạ không giãn và lớp các ánh xạ giả co chặt.
Năm 2004, Xu H. K. [75] đã trình bày một cải tiến cho lớp các ánh xạ không giãn. Lấy tùy ý x0 ∈ C và xây dựng dãy lặp {xn}∞n=0 xác định theo công thức sau:
xn+1 = (1−αn)f(xn) +αnT(xn), n= 0,1,2, . . . (1.34)
trong đó T : C −→ C là ánh xạ không giãn và f : C −→ C là ánh xạ co trên một tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H. Ông đã chứng minh rằng, khi dãy số {αn} thỏa mãn điều kiện thích hợp thì dãy lặp (1.34) hội tụ mạnh đến một điểm x∗ ∈ F ix(T) và x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân
h(I −f)x∗, x −x∗i ≥ 0 ∀x ∈ F ix(T).
Năm 2008, Zhou H. [85] mở rộng kết quả của Kim T. H. và Xu H. K. [36]
cho lớp các ánh xạ giả co chặt. Lấy một điểm tùy ý x0 ∈ C, dãy {xn}∞n=0
được xác định bởi:
x0 ∈ C
yn = PC[αnxn + (1−αn)T(xn)],
xn+1 = βnu+ (1−βn)yn n= 0,1,2, . . .
(1.35)
ở đây, u là một giá trị tùy ý thuộc C. Ta có định lý sau:
Định lý 1.17 (xem [85]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ λ-giả co chặt, sao cho
F ix(T) 6= ∅. Giả sử rằng {αn}∞n=0 và {βn}∞n=0 là các dãy số thực trong
khoảng (0,1) thỏa mãn các điều kiện:
(i) βn −→ 0; (ii) λ ≤ αn ≤ βn < 1, n ≥1; (iii) P∞ n=1βn = ∞; (iv) P∞ n=1 | αn+1 −αn |< ∞; (v) P∞ n=1 |βn+1 −βn |< ∞ hoặc βn βn+1 → 1 khi n → ∞.
Khi đó, với u và x0 tùy ý thuộc C, dãy lặp {xn}∞
n=0 xác định bởi (1.35)
hội tụ mạnh tới điểm bất động z của ánh xạ T, với z = PF ix(T)u.
Bên cạnh các kết quả trên, Nakajo K. và Takahashi W. [52] cũng đã đề xuất một phương pháp lặp để xác định điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Lấy tùy ý x0 ∈ C, xây dựng dãy lặp{xn}∞
n=0 xác định bởi: x0 ∈ C yn = αnxn+ (1−αn)T(xn), Cn = {z ∈ C : kyn−zk ≤ kxn−zk}, Qn = {z ∈ C : hxn −z, x0 −xni ≥ 0}, xn+1 = PCn∩Qn(x0), (1.36)
và đã chứng minh dãy lặp (1.36) hội tụ mạnh tới điểm bất động của xạ không giãn T, khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn điều kiện supn≥0αn < 1.
Sau này, Marino G. và Xu H. K. [48] đã mở rộng kết quả của Nakajo K. và Takahashi W. ra lớp các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và dãy lặp được xác định theo công thức:
x0 ∈C yn =αnxn+ (1−αn)T(xn), Cn ={z ∈ C : kyn−zk2 ≤ kxn−zk2 + (1−αn)(λ−αn)kxn −T(xn)k2}, Qn ={z ∈ C : hxn −z, x0 −xni ≥ 0}, xn+1 =PCn∩Qn(x0). (1.37) Ta có định lý sau:
Định lý 1.18 (xem [48]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không