Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc

Trong trường hợp này, điều kiện cân bằng điện tích vẫn được xác định bởi phương trình (1.86).

Khi àI > mπ thì u = 0 còn v 6= 0. Giải số phương trình khe (1.81) với ràng buộc (1.86) ta thu được đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của v theo nhiệt độ T như trên hình 1.30. Trong hình vẽ này, đường nét liền ứng với trường hợp có ràng buộc (1.86) còn đường nét đứt ứng với không có ràng buộc này và àI = 200 MeV. Kết quả cho thấy, khi có ràng buộc bởi điều kiện trung hòa điện tích thì chuyển pha của ngưng tụ pion theo nhiệt độ vẫn là chuyển pha loại 2. Tuy nhiên, nhiệt độ tới hạn giảm đi so với trước.

0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD v H T L v H 0 L

Hình 1.30: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo nhiệt độ. Đường nét liền ứng với có trung hòa điện tích(α= 0), đường nét đứt là khi không có trung hòa điện tích vààI = 200 MeV.

Sự phụ thuộc của ngưng tụ pion vào ICP được vẽ trên hình 1.31 ứng với các giá trị khác nhau của α. Theo đồ thị này thì điều kiện cân bằng điện tích dẫn đến chỉ có phá vỡ đối xứng tại àI = mπ và chuyển pha thuộc loại 1.

Trong miền àI < mπ thì v = 0 còn u 6= 0. Sự ngưng tụ chiral được xác định bởi phương trình khe (1.82) và điều kiện trung hòa điện tích (1.86).

150 200 250 300 0.0 0.5 1.0 1.5 ΜI@MeVD v  fΠ

Hình 1.31: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo ICP. Đường nét liền, nét gạch và nét chấm lần lượt tương ứng vớiα= 0,1/4,1/2.

Hình 1.32 biểu diễn sự phụ thuộc của ngưng tụ chiral vào nhiệt độ. Đường nét liền là kết quả khi có ràng buộc (1.86), đường nét đứt ứng với không có ràng buộc này và àI = 100 MeV. Kết quả cho thấy ngưng tụ chiral theo nhiệt độ bị ảnh hưởng rất ít bởi điều kiện trung hòa điện tích và chuyển pha theo nhiệt độ vẫn thuộc chuyển pha loại 1.

Sự phụ thuộc của ngưng tụ chiral theo ICP được vẽ trên hình 1.33 ứng với một số giá trị khác nhau củaα. Rõ ràng, giống như khi không bị ràng buộc bởi điều kiện trung hòa điện tích, sự phụ thuộc ICP của ngưng tụ chiral là rất yếu.

1.5. Nhận xét

Bằng việc sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT và gần đúng IHF, ở đó định lý Goldstone được bảo toàn, chúng tôi đã khảo sát bài toán cấu trúc pha của LSM với hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng. Một vài kết quả chính của chương này có thể tóm tắt như sau:

0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u H T L u H 0 L

Hình 1.32: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo nhiệt độ. Đường nét liền và nét gạch lần lượt tương ứng với khi có và không có (1.86).

0 20 40 60 80 100 120 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 ΜI@MeVD u  fΠ

Hình 1.33: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo ICP. Đường nét liền, nét gạch và nét chấm lần lượt tương ứngα = 0,1/4,1/2.

thuộc chuyển pha loại hai.

b) Tại nhiệt độ và ICP hữu hạn, hệ tham gia vào cả chuyển pha lượng tử (theo àI) và chuyển pha nhiệt (tương ứng theo nhiệt độ). Cả hai trường hợp này đều cho ta chuyển pha loại hai.

c) Trong trường hợp thế giới vật lý, khi àI nhỏ, giản đồ pha nằm giữa các giản đồ pha tương ứng thu được khi sử dụng các gần đúng khác: gần đúng HF và gần đúng khai triển N lớn. Kết quả của chúng tôi khá phù hợp với kết quả được đưa ra trong [56].

d) Đối xứng chiral được phục hồi ở giá trị lớn của àI (khi nhiệt độ cố định) hoặc ở nhiệt độ cao (khi thế hóa cố định).

e) Khi có ràng buộc bởi điều kiện trung hòa điện tích, các kết quả thu được có sự thay đổi đáng kể đối với cả vùng àI > mπ và àI < mπ. Ngưng tụ pion bắt đầy xảy ra tại àI = àIc < mπ và giá trị của àIc tăng lên khi α

tăng.

- Trong giới hạn chiral, chuyển pha của ngưng tụ pion theo nhiệt độ là chuyển pha loại 2 nhưng theo ICP lại chỉ có chuyển pha loại 1.

- Trong thế giới vật lý thì đối xứng chiral được phục hồi theo cả nhiệt độ và ICP.

Một số vấn đề quan trọng có thể đưa ra như sau:

a) Định lý Goldstone giữ vai trò quan trọng trong các bài toán về chuyển pha.

b) Khi nhiệt độ và thế hóa hữu hạn, ở gần đúng cây, trạng thái cơ bản của hệ thỏa mãn u = 0, v = fπ s 1 + 2à2I m2 σ ,

trong giới hạn chiral [4]. Tuy nhiên điều này không phù hợp với các kết quả ở [55, 40].

2- Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc

a) Khi àI > mπ chuyển pha lượng tử của ngưng tụ pion gồm cả hai loại chuyển pha: chuyển pha loại một ở vùng nhiệt độ từ 0 đến 175.813 MeV, ở vùng nhiệt độ cao hơn xảy ra phá vỡ đối xứng nghịch đảo. Điều này cho thấy hiệu ứng nhiệt độ ảnh hưởng lớn đến loại chuyển pha.

b) Chúng tôi cũng đã khảo sát sự phụ thuộc của mật độ isospin vào thế hóa àI tại một số giá trị nhiệt độ xác định, đồng thời vẽ được giản đồ pha của ngưng tụ pion.

c) Tại giá trị nhất định của thế hóa àI, ngưng tụ pion theo nhiệt độ có thể là chuyển pha loại một hoặc loại hai tùy thuộc vào việc sử dụng gần đúng HF hoặc IHF.

d) Khi àI < mπ, đối xứng chiral bị phá vỡ ở T = 0 và được phục hồi ở vùng nhiệt độ từ 138.464 MeV đến 147.168 MeV. Với giá trị T cố định, ngưng tụ chiral phụ thuộc rất yếu vào thế hóa àI và chuyển pha thuộc loại một.

e) Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng(T, àI) và đồ thị biểu diễn thế hiệu dụng theo tham số trật tự xác nhận tính đúng đắn của các kết quả trên.

f) Khi tính đến yêu cầu trung hòa điện tích, các kết quả thu được có sự thay đổi đáng kể.

Một điều quan trọng là những nghiên cứu này cho thấy cấu trúc pha của LSM với hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng khá khác nhau. Những nghiên cứu này cho chúng ta một bức tranh khá đầy đủ về cấu trúc pha của LSM.

khi có sự tham gia của quark

Trong chương này chúng tôi khảo sát cấu trúc pha của vật chất nóng tương tác mạnh trong khuôn khổ LSM. Kết quả tính toán được so sánh với các kết quả thu được từ mô hình NJL và mô hình PNJL. Các tính toán trong chương này được tiến hành theo phương pháp trường trung bình.

2.1. Thế hiệu dụng trong gần đúng trường trung bình

Khi có sự tham gia của các quark, Lagrangian của mô hình có dạng

L = Lq +LLSM, (2.1)

trong đó Lq là thành phần đóng góp của các quark vào Lagrangian của hệ, nó có dạng

Lq = qÊiγà∂à −mq−g(σ+ iγ5~τ~π)Ôq +àqγ0q, (2.2)

với q, q là trường quark và phản quark, à = àB/3 là thế hóa barion, mq là khối lượng dòng của quark, g là hằng số liên kết.

Bây giờ chúng ta hãy xác định hàm phân bố chính tắc

Z = Z DqDqDσD~πexp Z β L, (2.3) trong đó ta đã sử dụng ký hiệu Z β = i Z 1/T 0 dτ Z d3~x.

Giả sử rằng các toán tử trường ~π và σ có giá trị trung bình ở trạng thái cơ bản là

hσi = u, ưπ21 + π22đ = v2, hπ3i = 0,

và để thuận tiện chúng ta chọn hπ1i = v,hπ2i = 0.

áp dụng phương pháp trường trung bình cho các trường meson chúng ta có thể thay các toán tử trường ~π và σ bằng giá trị trung bình của chúng. Nói cách khác, ta bỏ qua các thăng giáng lượng tử và nhiệt động của trường meson và chỉ tính đến các trường lượng tử là quark và phản quark. Trong trường hợp này, hàm phân bố chính tắc có thể viết dưới dạng

Z = exp à −V U T ả Z DqDqâqS−1(k)qê, (2.4) ở đó V là thể tích của hệ và S−1(k) =   γàkà+ àuγ0 +gu igvτ1γ5 igvτ1γ5 γàkà +àdγ0 + gu  , với τ1 là ma trận Pauli thứ nhất.

Từ (2.4) ta có biểu thức cho thế hiệu dụng trong gần đúng 1 vòng Ω(u, v) =−T lnZ V = U(u, v) + Ωqq, (2.5) trong đó Ωqq = ln detS−1(k) = −νq Z d3~k (2π)3 â

E+ T Êln(1 + eβE1) + ln(1 +e−βE2)Ôê. (2.6)

Phổ năng lượng trong trường hợp này có dạng

E =

q

~k2 + M2 +g2v2, E1 = E+à, E2 = E −à, M = mq +gu.

Bỏ qua số hạng phân kỳ và lấy tích phân từng phần ta có thể đưa (2.6) về dạng Ωqq = − νq 6π2 Z ∞ 0 dkk4nq(T, à) +nq(T, à) E , (2.7)

trong đó các hàm phân bố cho quark và phản quark có dạng

Trạng thái cơ bản của hệ được xác định qua điều kiện

∂Ω

∂u = 0, ∂Ω

∂v = 0. (2.9)

Tùy thuộc vào các dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng mà chúng ta sẽ có các cấu trúc pha khác nhau. Bây giờ chúng ta lần lượt xét các trường hợp ứng với các dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng.

2.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc

Trong trường hợp này số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (1.2) và biểu thức thế năng trong gần đúng cây có dạng

U(u, v) = m2 2 (u 2 +v2)− à2I 2 v 4 + λ2 4 (u 2 +v2)2 −²fπm2πu. (2.10)

Thay (2.7) và (2.10) vào (2.9) ta thu được các phương trình khe [m2 +λ2(u2 +v2)]u−²fπm2π + ∂Ωqq ∂u = 0, (2.11) [−à2I +m2 +λ2(u2 +v2)]v + ∂Ωqq ∂v = 0, (2.12) trong đó ∂Ωqq ∂u = νqgM Z d3~k (2π)3.nq(T, à) +nq(T, à) E , (2.13) ∂Ωqq ∂v = νqg 2v Z d3~k (2π)3.nq(T, à) +nq(T, à) E . (2.14)

Dựa vào biểu thức định nghĩa áp suất

P = −Ω(u, v)

¯ ¯ ¯ ¯

lấy tại cực tiểu, ta có thể tính được

- Mật độ spin đồng vị

- Mật độ hương

ρ = νq 6π2

Z

dkk2[nq(T, à)−nq(T, à)]. (2.16)

Để tiến hành tính số, các tham số của mô hình được chọn mπ = 138 MeV, mσ = 500 MeV, fπ = 93 MeV, mq = 5.5 MeV và hằng số liên kết

g = 3.3 được xác định từ điều kiện khối lượng quark bằng 1/3 khối lượng nucleon

M(T = 0, à = 0) = 313 MeV.

2.2.1. Giới hạn chiral ²= 0

Theo [18] trong trường hợp này hσi = u = 0, mπ = 0, ưπ12 +π22đ =

v2 6= 0, hπ3i = 0 và đối xứng chiral bị phá vỡ thành đối xứng O(2). Để thuận tiện ta chọn trạng thái cơ bản của hệ cóhπ1i = v, hπ2i = 0, đối xứng

O(2) bị phá vỡ tự phát và tồn tại phương trình khe cho v,

−à2I +m2 +λ2v2 +νqg Z d3~k (2π)3 nq(T, à) + nq(T, à) E = 0. (2.17)

Từ phương trình này chúng ta thu được các kết quả sau đây:

1- Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo à và àI tại T = 100 MeV được vẽ trên hình 2.1, theo đó chuyển pha thuộc loại 1. Các tính toán cũng cho thấy, khi nhiệt độ tăng lên loại chuyển pha vẫn không thay đổi. Điều này không giống với kết quả thu được từ mô hình NJL [6], ở đó khi nhiệt độ đạt

T = 150 MeV thì chuyển pha trở thành chuyển pha loại 2. Trên hình 2.2 là giản đồ pha cho ngưng tụ pion trong mặt phẳng (à, àI) ở một số giá trị của

T. Theo hình vẽ này ta thấy khiT = 0,100MeV các pion mang điện ngưng tụ ở mọi giá trị của àI, điều này hoàn toàn phù hợp với kết quả thu được từ mô hình NJL [6, 10]. Tuy nhiên, khi T = 150 MeV thì ngưng tụ pion chỉ bắt đầu xuất hiện khi àI = 348 MeV.

2- Trên hình 2.3 vẽ sự phụ thuộc của ngưng tụ pion theo T và àI tại

0 100 200 300 Μ@MeVD 0 100 200 300 ΜI@MeVD 0.0 0.5 1.0 1.5 vfΠ

Hình 2.1: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo àvààI tại T = 100 MeV.

v=0 v>0 0 200 400 600 800 1000 0 100 200 300 400 500 ΜI@MeVD Μ @ MeV D

Hình 2.2: Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng(à, àI)tạiT = 0 (nét liền), 100 MeV (nét gạch), 150 MeV(nét chấm). Chuyển pha luôn thuộc loại 1.

0 200 400 ΜI@MeVD 0 100 200 300 T@MeVD 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 vfΠ

Hình 2.3: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T vààI tạià= 100MeV.

v=0 v>0 0 200 400 600 800 1000 0 50 100 150 200 250 300 ΜI@MeVD T @ MeV D

Hình 2.4: Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng(T, àI)tại à= 0 (nét liền), 150 MeV (nét gạch), 300 MeV (nét chấm). Chuyển pha luôn là loại 1.

0 100 200 300 400 Μ@MeVD 0 50 100 150 T@MeVD 0.0 0.5 1.0 vfΠ

Hình 2.5: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo (à, T)tạiàI = 100MeV.

v=0 v>0 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 120 140 Μ@MeVD T @ MeV D

Hình 2.6: Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng (T, à)tại àI = 100 MeV (nét liền), 200 MeV (nét gạch), 300 MeV (nét chấm). Chuyển pha luôn là loại 1.

chiral luôn thuộc chuyển pha loại 1. Giản đồ pha cho ngưng tụ pion được vẽ trong mặt phẳng (T, àI) trên hình 2.4. Các đường nét liền, nét gạch và nét chấm lần lượt ứng với à = 0,150,300 MeV.

3- Các hình 2.5 và 2.6 lần lượt biểu diễn ngưng tụ pion như hàm số của

T và à tại àI = 100 MeV và các giản đồ pha tương ứng trong mặt phẳng (T, à)tạiàI = 100,200,300MeV. Các kết quả cho thấy ở đây chỉ có chuyển pha loại 1. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng khi tính theo mô hình NJL [6] lại cho thấy chuyển pha thuộc loại 1 bắt đầu từ T = 0 và kết thúc tại điểm

T = 110 MeV và à = 220 MeV, tại giá trị T và à cao hơn thì chuyển pha thuộc loại 2.

2.2.2. Trong thế giới vật lý ²= 1

Trong trường hợp này, theo [18], trạng thái cơ bản của hệ có thể xảy ra 2 khả năng, tùy thuộc vào tương quan giữa àI và mπ. Khi àI < mπ thì

hσi = u 6= 0, hπii = 0, i = 1,2,3.

Lúc này, từ (2.12) ta có phương trình khe [m2 +λ2u2]u−fπm2π +νqgM Z d3~k (2π)3.nq(T, à) +nq(T, à) E = 0.(2.18) Khi àI > mπ thì hσi = u 6= 0, ưπ21 + π22đ = v2 6= 0, hπ3i = 0. Chọn hπ1i = v, hπ2i = 0 thì đối xứng spin đồng vị bị phá vỡ tự phát và xuất hiện boson Goldstone. Các phương trình khe có dạng (2.11) và (2.12).

Trước tiên chúng ta tính số cho trường hợp àI > mπ, ở đó cả ngưng tụ pion và ngưng tụ chiral đều khác 0. Giải số các phương trình khe (2.11) và (2.12) chúng ta thu được các kết quả sau đây:

1- Ngưng tụ pion và phục hồi đối xứng chiral ở T = à = 0 được vẽ trên hình 2.7. Kết quả cho thấy ngưng tụ chiral không thay đổi trong khoảng

mΠ 0 100 200 300 400 500 0.0 0.5 1.0 1.5 ΜI@MeVD u  fΠ v  fΠ

Hình 2.7: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral (nét gạch) và ngưng tụ pion (nét liền) theoàI

tạiT =à= 0.

0 ≤ àI ≤ mπ và khi àI > mπ thì đối xứng chiral dần được phục hồi. Kết quả này phù hợp với tính toán của LQCD [26, 37]. Khác với ngưng tụ chiral, ngưng tụ pion chỉ xuất hiện khi àI > mπ và nó tăng dần khi àI tăng. Kết quả này phù hợp với [56] nhưng không giống với kết quả thu được từ mô hình NJL [6].

2- Sự biến thiên của ngưng tụ pion trong những miền giá trị khác nhau của các tham số àI, à vàT thu được như sau:

a) Trên hình 2.8 chúng tôi biểu diễn ngưng tụ pion như hàm số của T và

àI tại à = 0. Để tiện so sánh với kết quả của các công trình khác chúng tôi khảo sát sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại à = 0 và một số giá trị của àI, đồng thời khảo sát giản đồ pha tương ứng trong mặt phẳng