Trong chương này chúng tôi đạt được các kết quả sau:
- Xây dựng phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là martingale bình phương khả tích, định nghĩa nghiệm, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm, đưa ra công thức đánh giá tốc độ hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ về nghiệm đúng của phương trình. Các kết quả được thể hiện ở Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.5.
- Chỉ ra tính Markov của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên, phát biểu và chứng minh định lý về toán tử sinh phụ thuộc thời gian của quá trình Markov liên kết với nghiệm của phương trình. Các kết quả được thể hiện ở Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.4, Chú ý 3.2.5.
- Xây dựng công thức ước lượng moment của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên. Các kết quả được thể hiện ở Ví dụ 3.3.1, Định lý 3.3.2, Bổ đề 3.3.3, Định lý 3.3.6.
kết luận và kiến nghị
I. Kết luận chung
Luận án đã thu được các kết quả chính sau:
1) Phát biểu và chứng minh được định lý khai triển Doob- Meyer đối với submartingale trên thang thời gian.
2) Xây dựng tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian theo martingale bình phương khả tích, martinagle địa phương bình phương khả tích và mở rộng tích phân theo semimartingale đồng thời chỉ ra các tính chất quen thuộc của chúng.
3) Phát biểu và chứng minh công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian, chỉ ra các hệ quả đối với công thức Itô, đồng thời sử dụng công thức Itô giải phương trình tuyến tính Doléans - Dade.
4) Thiết lập phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, định nghĩa nghiệm và chỉ ra điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên.
5) Phát biểu bài toán martingale, chỉ ra tính Markov của nghiệm và xây dựng toán tử sinh phụ thuộc thời gian của quá trình Markov liên kết với nghiêm của phương trình động lực ngẫu nhiên.
6) Xây dựng các công thức ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên.
II. Kiến nghị
Thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau: 1) Nghiên cứu các tính chất ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.
Các công trình của tác giả liên qua đến đề tài Luận án
1. Nguyen Huu Du and Nguyen Thanh Dieu (2011), The first attempt on the stochastic calculus on time scale, Journal of Stochastic Analysis and Appli- cation. 29, 1057 - 1080.
2. Nguyen Huu Du and Nguyen Thanh Dieu (2012), Stochastic dynamic equa- tion on time scale, Acta Mathematica Vienamica (accepted).
3. Nguyen Huu Du and Nguyen Thanh Dieu (2012), On the P- exponential stability of stochastic dynamic equation on disconnected sets, Journal of Stochastic Analysis and Application (submitted).
4. Nguyen Thanh Dieu and Nguyen Thi The. (2011), Exponential martingale on time scales, Vinh university Journal of science. 40(3A), 21-29
Các kết quả của Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại
1. Seminar tại bộ môn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, Khoa Toán - Đại học Vinh.
2. Hội nghị Nghiên cứu sinh Trường Đại học Vinh năm 12/2010.
3. Seminar tại bộ môn Toán sinh thái, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội.
4. Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về xác suất và thống kê: Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy (Vinh, 20-22/5/2010).
Tài liệu tham khảo
[1] K. B. Athreya and S. N. Lahiri. (2006), Measure Theory and Probability Theory, Springer Science Business Media, LLC.
[2] S. Bhamidi, S. N. Evans, R. Peled and P. Ralph. (2008), Brownian motion on disconnected sets, basic hypergeometric functions, and some continued fractions of Ramanujan, IMS Collect. Prob. Stat 2, 42 - 75.
[3] M. Bohner and A. Peterson. (2001), Dynamic equations on time scale, Birkhauser Boston, Massachusetts.
[4] M. Bohner and A. Peterson. (2003), Advances in Dynamic Equations on Time Scales, Birkhauser Boston, Basel, Berlin.
[5] A. Cabada and D. R. Vivero. (2006), Expression of the Lebesgue∆-integral on time scale as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∆-antiderivatives, Mathematical and Computer Modeling. 43, 194 - 207. [6] A. Denizand U. Ufuktepe . (2009), Lebesgue-Stieltjes measure on time scale,
Turk J. Math. 33, 27 - 40.
[7] N. T. Dieu and N. T. The (2011), Exponential martingale on time scales, Vinh university journal of science, 40(3A), 21-29.
[8] J. L. Doob. (1953), Stochastic Processes, John Wiley and Sons, New York. [9] N. H. Du and N. T. Dieu. (2011), The first attempt on the stochastic calculus on time scale, Journal of Stochastic Analysis and Application. 29, 1057 - 1080.
[10] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), Stochastic dynamic equation on time scale, Acta Mathematica Vietnamica (accepted).
[11] N. H. Du and N. T. Dieu. (2012), On theP- exponential stability of stochastic dynamic equation on disconnected sets, Journal of Stochastic Analysis and Application (submitted).
[12] N. H. Du and L. H. Tien. (2007), On the exponential stability of dynamic equations on time scales, J. Math. Anal. Appl. 331, 11591174.
[13] N. H. Du, D.D. Thuan and N.C. Liem. (2011), Stability radius of implicit dy- namic equations with constant coefficients on time scales, Systems & Con- trol Letters. 60, 596603
[14] H. Furstenberg and Y. Kiffer. (1983), Random matrix products and measures on projective spaces, Isr. J. Math. 46, 12 - 32.
[15] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1972),Stochastic differential equations, Springer - Verlag, Berlin.
[16] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1979), The theory of stochastic pro- cesses III, Springer - Verlag, New York Inc.
[17] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1969),Introduction to the theory of ran- dom processes,W. B. Saunders Company, Philadelphia. London. Toronto. [18] D. Grow and S. Sanyal. (2011), Brownian motion indexed by a time scale,
Stochastic Analysis and Applications. 29, 457 - 472.
[19] I. Y. Goldsheid and G. A. Margulis. (1989), Lyapunov exponents of random matrices product, Usp. Mat. Nauk. 44, 13 - 60.
[20] V. M. Gundlach. and O. Steinkamp. (2000), Product of random rectangular matrices, Math. Nachr. 212, 54 - 76.
[21] S. Hilger. (1988), Ein Makettenkalkăaul mit Anwendung auf Zentrumsman- nigfaltigkeiten, Ph.D. thesis, Universitaat Wăaurzburg.
[22] S. Hilger. (1990), Analysis on measure chains a unified approach to contin- uous and discrete calculus, Results Math. 18, 18 - 56.
[23] N. Ikeda and S. Wantanabe. (1981), Stochastic differential equations and diffusion processes, North Holland, Amsterdam.
[24] K. Itô. (1944), Stochastic Integral, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20, 519 - 524. [25] K. Itô. (1951), On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya
Math. J. 3, 55 - 65.
[26] K. Itô. (1951), On stochastic differential equations,Mem. Amer. Math. Soc. 4, 1 - 51.
[27] L. Kallenberg. (2001),Foundations of modern probability, Springer Verlag, New York Berlin Heidelberg.
[28] D. Kannan và B. Zhan. (2002), A discrete - time Itô's formula, Stochastic Analysis and Applications. 20, 1133 - 1140.
[29] N. Kazamaki. (1972), On the existence of the solutions of martingale integral equations, Tôhoku Math. Journ. 24, 463 - 468.
[30] F. C. Klebaner. (2005), Introduction to stochastic calculus with applications, Imperial College Press.
[31] H. Kunita and S. Wantanabe. (1967), On square integrable martingales, J. Nagoya Math. 30, 209 - 245.
[32] X. Mao. (1997), Stochastic differential equations and their applications, Horwood Publishing chichester.
[33] X. Mao. (1991), Stability of Stochastic Differential Equations with Respect to Semimartingales, Longman Scientific and Technical, Essex, England. [34] X. Mao. (2003), Asymptotic Stability and Boundedness of stochastic differ-
ential equations with respect to semimartingales, Stochastic analysis and applications. 21, 737 - 751.
[35] X. Mao, D. J. Higham, and A. M. Stuart. (2002), Strong convergence of Euler-type methods for nonlinear stochastic differential equations, SIAM Journal on Numerical Analysis. 40, 1041 - 1063. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[36] H. P. McKean. Jr. (1969),Stochastic Integrals, Academic Press, New York. [37] P. Medvegyev. (2007), Stochastic integration theory, Oxford University
Press Inc, New York.
[38] P. A. Meyer. (1966),Probability and Potentials, Blaisdell, Toronto.
[39] P. A. Meyer. (1967), Intégrales stochastiques I, II, Lecture notes in mathe- matics, Springer - Verleg, Berlin. 39, 72 - 117.
[40] P. A. Meyer. (1962),A decomposition theorem for supermartingales, Ill. J. Math. 6, 193 - 205.
[41] P. A. Meyer. (1963), Decomposition of supermartingales: the uniqueness theorem, Ill. J. Math. 7, 1 - 17.
[42] P. A. Meyer and C. Doléans-Dade. (1970),Intégrales stochastiques par rap- port aux martingales locales, Séminaire de Probabilités IV, Lecture Notes in Mathematics. 124, 77 - 107.
[43] D. Mozyrska, E. Pawluszewicz, and D. F.M. Torres. (2010), The Riemann - Stieltjes integral on time scales, AJMAA. 7, 1 - 14.
[44] P. E. Protter. (1977), On the existence, uniqueness, convergence and explo- sions of system of stochastic integral equations, The Annals of Probability. 5, 243 - 261.
[45] P. E. Protter. (2004), Stochastic integration and differential equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
[46] L. C. G. Rogers and D. William. (1987), Diffusions, Markov process and martingales, Volume 2: Itô's Calculus, John Wiley & Sons Ltd.
[47] S. Sanyal. (2008), Stochastic dynamic equations, Ph.D. Dissertation, Ap- plied Mathematics, Missouri University of Science and Technology.
[48] A. Tartakovsky. (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonho- mogeneous processes, Sequential Analysis. 17, 33 - 61.
[49] W .Vervaat. (1979), On the s tochastic difference equation and a represen- tation on nonnegative infinitely random variables, Adv. Appl . Probab. 11, 750 - 783.
[50] Z. Yang and D. Xu. Mean square exponential stability of impulsive stochastic difference equations, Applied Mathematics Letters. 20, 938 - 945.