Lý huyết
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm M x
(
M;y zM M)
và cú vecto phỏp tuyến rn=(
A B C; ;)
. PTTQ của mp là A x x(
− M)
+B y y(
− M)
+C z z(
− M)
=0Một số dấu hiệu:
- Mặt phẳng
( )
P vuụng gúc với đường thẳng ABá hoặc đường thẳng( )
d . Khi đú vecto uuurABhoặc vecto chỉ phương uuurd
của
( )
d là vecto phỏp tuyến của mp( )
P .- Mặt phẳng
( )
P song song với mặt phẳng( )
Q , khi đú vecto phỏp tuyến nuurQcủa mp
( )
Q cũng là vecto phỏp tuyến của mp( )
P .Vớ dụ 1: Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng
( )
P đi qua điểm A(
1;2; 3−)
và : a) vuụng gúc với đường thẳng( )
: 1 22 1 3
x y z
d − = = +
−
b) song song với mặt phẳng
( )
Q x y: − −3z=0c) vuụng gúc với đường thẳng AB với A
(
0;1;1)
, B(
−1;2;0)
Lời giải:
a) Đ/thẳng
( )
d cú vecto chỉ phương ur =(
2; 1;3−)
.•
( ) ( )
P ⊥ d nờn( )
P nhận ur =(
2; 1;3−)
làm vecto phỏp tuyến. Mặt khỏc( )
P đi qua điểm A(
1;2; 3−)
.• Vậy p/trỡnh tổng quỏt của
( )
P :( ) ( ) ( ) ( ( ))
2 x− + −1 1 y− +2 3 z− −3 =0
Hay 2x y− +3z+ =9 0
b) •
( ) ( )
P || Q nờn vecto phỏp tuyến của( )
Q , nr = − −(
1; 1; 3)
cũng là vecto phỏp tuyến của( )
P .• Mặt khỏc
( )
P đi qua điểm A(
1;2; 3−)
. • Vậy p/trỡnh tổng quỏt của( )
P :( ) ( ) ( ( ))
1 x− −1 1 y− −2 3 z− −3 =0
Hay x y− − − =3z 8 0
Mặt khỏc
( )
P đi qua điểm A(
1;2; 3−)
. • Vậy p/trỡnh tổng quỏt của( )
P :( ) ( ) ( ( ))
1 x 1 1 y 2 1 z 3 0
− − + − − − − =
Hay − + − − =x y z 4 0 ⇔ − + + =x y z 4 0
Dạng 2: Mặt phẳng
( )
P xỏc định bởi hai vecto ur , vrkhụng cựng phương và cú giỏ song song hoặc nằm trờn
( )
P . {ễn thi ĐH-CĐ}Cỏch giải:
Vectơ phỏp tuyến của
( )
P là nr = u vr r, , tớch cú hướng của hai vectơ ur , vr.
Một số dấu hiệu thường gặp:
- Mp
( )
P song song với hai đường thẳng( ) ( )
d1 , d2 khụng cựng phương. - Mp( )
P vuụng gúc với hai mặt phẳng( ) ( )α β
, khụng song song.Bài tập:
Cõu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):
Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giỏc ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua A và vuụng gúc với đường thẳng BC.
2) Tỡm toạ độ điểm D sao cho tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành.
Cõu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong khụng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giỏc ABC vuụng. Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao choMBuuur= −2MCuuuur. Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua M và vuụng gúc với đường thẳng BC.
Cõu 3 2 (Đề TN 2009, Ban KHTN): Trong khụng gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) và đường thẳng d cú pt
: x 1 y 2 z 3
2 1 1
+ - +
= =
-
1) Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng đi qua điểm A và vuụng gúc với đường thẳng d. 2) Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A, tiếp xỳc với d.
