6. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1.4.KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1 luận văn đã trình bày một số vấn đề lí luận về kỹ năng và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán. Chương này cũng đã đề cập đến vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung, phương pháp dạy học môn toán nói riêng và một số giải pháp đổi mới phương pháp dạy học. Tác giả cũng đã nghiên cứu và tìm hiểu về thực trạng rèn luyện kĩ năng thực hành toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông.
Từ đó làm cơ sở cho việc đưa ra các định hướng nhằm tăng cường rèn luyện kĩ năng thực hành giải toán ứng dụng đạo hàm cho học sinh trong chương 2.
CHƯƠNG 2
DẠY HỌC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG
THỰC HÀNH CHO HỌC SINH
2.1. KHÁI QUÁT VỀ CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Những kiến thức cơ bản của chủ đề ứng dụng đạo hàm trong chương trình môn toán (chương trình chuẩn) bao gồm:
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
1) Kiến thức cơ bản
Học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản sau: * Các qui tắc và công thức tính đạo hàm.
* Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K có thể là khoảng (a; b) là đoạn
[a; b] hay nửa đoạn).
+ Hàm y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈K mà x1<x2 thì
f(x1) < f(x2)
+ Hàm y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2∈K mà x1 <x2 thì
f(x1) > f(x2).
* Điều kiện cần để hàm số có tính đơn điệu
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó: + Nếu hàm số f(x) đồng biến trên I thì f x'( ) 0≥ với mọi x∈I + Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên I thì f x'( ) 0≤ với mọi x∈I
* Điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu
1. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I
+ Nếu f x'( ) 0> với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng I + Nếu f x'( ) 0< với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng I + Nếu f x'( ) 0= với mọi x ∈ I thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng I 2. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên nửa khoảng [a;b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b)
+ Nếu f x'( ) 0> ,∀x∈(a;b) thì hàm số đồng biến trên nửa khoảng [a;b) +Nếu f x'( ) 0< ,∀x∈(a;b) thì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng[a;b)
+ Nếu f x'( ) 0= ∀x∈(a; b) thì hàm số không đổi trên nửa khoảng [a;b)
2) Phương pháp giải
Để giải dạng toán này, học sinh cần phải nắm và vận dụng được một quy trình, phương pháp giải như sau:
Bước 1: Tính y= f x'( )
Bước 2: Xét dấu đạo hàm y, = f x'( )
Bước 3: Lập bảng biến thiên đối với y’ (dựa vào việc xét dấu của hàm số y = f x'( ) ở bước 2)
Bước 4: Áp dụng định lý về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số để kết luận.
Bước 5: Kết luận bài toán.
2.1.2. Tìm cực trị của hàm số (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1)Kiến thức cơ bản
Định nghĩa.Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D ⊂ R) và x0 ∈
D.
a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a;b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Kí hiệu điểm cực đại (tiểu) xCĐ, (xCT), giá trị cực đại (tiểu)
Ví dụ: Hàm số y = sinx trên (- π ; π) Đồ thị Bảng biến thiên Ta có xCĐ= π2 , y CĐ = 1; xCT = -π2 , y CT = -1. *Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0, nếu f có đạo hàm tại x0 thì
f’(x0)=0
Nhận xét: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 ∈ D là tại x0 hàm số xác định và f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không xác định. Điểm x0 như thế gọi là
điểm tới hạn.
*Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Dấu hiệu 1
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó:
a)Nếu f’(x0) < 0 với mọi x ∈(a; x0) và f’(x0) > 0 với mọi x ∈ (x0; b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
b)Nếu f’(x0) > 0 với mọi x∈(a; x0) và f’(x0) < 0 với mọi x∈(x0; b) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
Dấu hiệu 2 x - π -π2 π2 π y’ 0 - 0 + 0 - y = sinx 1 -1 0 Hình 2 Hình 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f’(x0)=0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. Khi đó:
a)Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. b)Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
2) Phương pháp giải
Để giải dạng toán này, học sinh cần phải nắm được các quy trình giải sau đây:
*Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu1 Tìm cực trị của hàm số f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tìm f’(x)
Bước 3: Tìm các điểm tới hạn xi∈ D.
Bước 4: Lập bảng xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ví dụ: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau: 1.f(x) = 31x3 - x2 - 3x + 1
2.f(x) = x4 - 4x3 + 4x2 -3 3.f(x) = x + 4x - 3
*Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 2 Tìm cực trị của hàm số f(x)
Bước 1: Tìm tập xác định D. Bước 2: Tìm f’(x)
Bước 3: Giải phương trình f’(x) = 0 được nghiệm xi∈ D. Bước 4: Tìm f’’(x) và tính f’’(xi).
+ Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi. + Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.
Ví dụ: Tìm cực trị của mỗi hàm số sau (áp dụng quy tắc 2):
1. f(x) = 31x3 - x2 - 3x + 1
2. f(x) = x4 - 4x2 + 3
4. f(x) = x - sin2x +2
Nhận xét: Để áp dụng được quy tắc 2 thì hàm số f(x) phải thoả mãn các điều kiện của định lí 3.
Hệ quả: 1. < = 0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f ⇒ hàm số f(x) đạt cực đại tại x = x0. 2. > = 0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f ⇒ hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x0.
2.1.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1) Kiến thức cơ bản
Học sinh cần nắm được một số kiến thức cơ bản sau:
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D⊂ R) .
a) Nếu tồn tại một điểm x0∈D sao cho f(x)≤f(x0) với mọi x∈D
thì số M = f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu M =max ( )D f x
b) Nếu tồn tại một điểm x0∈D sao cho f(x)≥f(x0) với mọi x∈D
thì số m = f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu m=min ( )D f x
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 2x - 3 trên đoạn D = [−2;3]
Giải
Ta có y’ = 2x - 2; y’ = 0 ⇔ x = 1
Suy ra bảng biến thiên của y = x2 - 2x - 3 trên [-2 ; 3]. x -2 1 3 y’ - 0 +
y
5 0 -4
Từ bảng biến thiên suy ra max[-2;3] y = − =y( 2) 5; [ ]
2;3
min y y(1) 4
− = = − (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nhận xét : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì hàm số f đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đạt được tại các điểm cực trị thuộc khoảng ( )a b; hoặc tại a, b. Từ đó ta có các quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
2)Phương pháp giải
Các quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Quy tắc 1.( Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a; b]) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Ta có quy tắc sau:
Bước 1. Tìm các điểm x1, x2,…,xm thuộc ( )a b tại đó hàm số f có đạo ;
hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
Bước 2. Tính f(x1), f(x2), ....f(xm), f(a) và f(b). Bước 3. So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a;b], Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất nhất của f trên đoạn [a;b].
Quy tắc 2. (Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng)
Bước 1. Tìm tập xác định D là khoảng, nửa khoảng. Bước 2. Tìm f’(x), tìm các điểm tới hạn thuộc D.
Bước 3. Lập bảng biến thiên (Chú ý các giá trị cực trị, các giới hạn). Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.
Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
1. f(x) = x3 + 3x2 -9x +1 trên đoạn [-4 ; 4]. 2. f(x) = x4 - 8x2 + 16 trên đoạn [-1; 3]. 3. f(x) = 2 3 41 + + + x x trên (0 ; 3]. 4. f(x)= x+ 4−x2 .
2.1.4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số
a. Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị
Để xét sự tương giao của (C) và (C’), ta xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) : f(x) = g(x) (1).
- Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của (1) - Hoành độ giao điểm là nghiệm của (1).
- (C) tiếp xúc với (C’) tại M1(x1 ; y1) ⇔ x1 là nghiệm kép của (1). - (C) cắt (C’) tại M2(x2 ; y2) ⇔ x2 là nghiệm đơn của (1).
- (C) không có điểm chung với (C’) ⇔ (1) vô nghiệm
b. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Thường có các dạng bài toán về tiếp tuyến như sau:
•Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường cong: Cho hàm số y = f(x) (C), xác định trong tập D⊂R, phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm A(x0;y0) là y = f’(x0)(x - x0) + f(x0)
•Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước của đồ thị (C): y = f(x) Cách 1. Tìm tiếp điểm M0(x0;y0)
- Gọi M0(x0;y0) tiếp điểm, ta có ' 0
( )
f x =k (1) - Giải phương trình (1), tìm được x0 rồi suy ra y0
- Viết phương trình '
0 ( )(0 0)
y y− = f x x x−
Cách 2. Dựa vào sự tiếp xúc (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Gọi (∆) là tiếp tuyến: (∆) có dạng y = kx + m
- Tìm m bằng cách buộc f(x) = kx+m có nghiệm kép.
•Tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua A(xA; yA)
Cách 1. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) qua A(xA; yA) và có hệ số góc là k (d): y = k(x - xA) + yA
- Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d):
f(x) = k(x - xA) + yA (1) - (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ (1) có nghiệm. Cách 2. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0))
- Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0
'
0 ( )(0 0)
y y− = f x x x−
- (d) đi qua A(xA; yA) nên '
0 ( )(0 0)
A A
y −y = f x x −x (2) - Giải (2) ta được x0.
- Dùng điều kiện tiếp xúc để tìm k 2.1.5. Tính giới hạn của hàm số * Giả sử cần xác định giới hạn: ( ) 0 lim x x L Q x → = có dạng vô định 0 0,
* Ta có thể tính L bằng việc khéo léo biến đổi L về một trong các dạng sau: Dạng I. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' lim x x f x f x L f x x x → − = = − Dạng II. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 . ' . lim x x f x f x L P x f x P x x x → − = = − , P(x0)≠ ± ∞ Dạng III. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 ' lim ' x x f x f x f x x x L g x g x g x x x → − − = = − − với g’(x0) ≠0.
Trong Dạng III, nếu ta xem P(x) = f(x) – f(x0),Q(x) = g(x) – g(x0) thì
P’(x0)=f’(x0), Q’(x0)=g’(x0). Từ đó có được công thức sau (công thức L’HOSPITAL)
Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên ( )a b; Giả sử rằng: lim ( ) lim ( ) 0
'( ) lim '( ) x a x a x a f x g x f x g x α → → → = = = thì ( ) lim ( ) x a f x g x α → = . 2.1.6. Chứng minh bất đẳng thức
Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a;b], ta có:
a. f x'( ) 0≥ ∀ x ∈ [a; b] ⇒ Hàm số đồng biến trên (a;b).
b. f x'( ) 0≤ ∀ x ∈ [a; b] ⇒ Hàm số nghịch biến trên (a;b).
Ví dụ: Cho 0
2
x π
< < . Chứng minh rằng: sinx < x.
Giải: Xét hàm số f(x) = sinx – x với 0
2
x π ≤ < (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đạo hàm: f x'( ) cos= x− <1 0 với 0
2
x π ≤ <
⇒ Hàm số f(x) nghịch biến trên 0; 2 π ÷ Do đó: f(x) < f(0) với 0 2 x π < < ⇔ sinx – x < 0 với 0 2 x π < < ⇔ sinx < x với 0 2 x π < <
2.2. VỊ TRÍ CỦA DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Trước hết chúng tôi giới thiệu một cách khái quát chương trình Giải tích 12, đây là một phần quan trọng của chương trình môn Toán lớp cuối cấp trung học phổ thông có liên quan trực tiếp đến chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”.
2.2.1. Chương trình Giải tích 12
Trước đây chúng ta sử dụng sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nhưng bắt đầu từ năm học 2008–2009 lớp 12 sử dụng sách giáo khoa phân ban, so với sách giáo khoa Giải tích 12 trước đây sách giáo khoa Giải tích 12 thí điểm có một số thay đổi. Sau đây chúng tôi phân tích một số điểm về nội dung sách giáo khoa Giải tích 12 nói chung và cách trình bày chủ đề
ứng dụng đạo hàm của hàm số nói riêng.
* Sách giáo khoa Giải tích 12 trước đây có 107 tiết bao gồm bốn chương
Chương 1: Đạo hàm (20 tiết); gồm các nội dung: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; Các quy tắc tính đạo hàm; Đạo hàm của các hàm số cơ bản; Đạo hàm cấp cao; Vi phân và phần ôn tập, kiểm tra cuối chương 1.
Chương 2: Ứng dụng đạo hàm (26 tiết); gồm các nội dung: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số; Cực đại và cực tiểu; Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị; Tiệm cận; Khảo sát hàm số; Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và phần ôn tập, kiểm tra cuối chương 2.
Chương 3: Nguyên hàm và tích phân (23tiết); gồm các nội dung: Nguyên hàm; Tích phân; Các phương pháp tính tích phân; ứng dụng hình học và vật lý của tích phân và phần ôn tập, kiểm tra cuối chương 3.
Chương 4: Đại số tổ hợp (13tiết); gồm các nội dung: Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp; Công thức nhị thức Newton và phần ôn tập, kiểm tra cuối chương.
* Sách giáo khoa Giải tích 12 thí điểm được phân ra như sau: Chương trình và Sách giáo khoa nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên, chương trình và Sách giáo khoa cơ bản dành cho ban khoa học xã hội
- Đối với chương trình sách giáo khoa nâng cao có 90 tiết gồm bốn chương
Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (23 tiết); gồm các nội dung: Sự liên quan giữa tính đơn điệu của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của hàm số đó; Cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; Đồ thị của hàm số; Đường tiệm cận của đồ thị hàm số; Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Sự tương giao của hai đồ thị. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phần ôn tập.
Chương 2: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit (24 tiết); gồm các nội dung: Luỹ thừa; Lôgarit; Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit; Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit và phần ôn tập .
Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (18 tiết); gồm các nội dung: Nguyên hàm; Tích phân; ứng dụng hình học của tích phân và phần ôn tập.
Chương 4: Số phức (15 tiết); gồm các nội dung: Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức. Các phép tính; Căn bậc hai của số phức. Giải phương trình bậc hai với hệ số phức; Dạng lượng giác của số phức. Công thức Moivre và phần ôn tập.
- Đối với chương trình sách giáo khoa cơ bản có 76 tiết gồm bốn chương:
Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (20 tiết); Gồm các nội dung: Sự liên quan giữa tính đơn điệu của một hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của hàm số đó; Cực trị của hàm số; Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; Đồ thị của hàm số; Đường tiệm cận của đồ thị hàm số; Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Sự tương giao của hai đồ thị. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phần ôn tập.