4.1 Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tínhA:E −→E gọi làtoán tử đối xứng nếuu
< Ax, y >=< x, Ay >, ∀x, y∈E
4.2 Ma trận biểu diễn toán tử đối xứng trong cơ sở trực chuẩn.
Ma trận biểu diễn toán tử đối xứng trong cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng. Thật vậy, nếu (e1,· · · , en) là cơ sở trực chuẩn và Alà toán tử đối xứng, thì:
< Aej, ei >=< k akjek, ei >=aij < ej, Aei >=< ei, k akjek >=aji
Do tính đối xứng suy ra aij =aji.
4.3 Dạng chính tắc của ma trận đối xứng.
(i) Mọi toán tử đối xứng trong không gian vector Euclid hữu hạn chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn gồm toàn vector riêng (khi đó ma trận biểu diễn có dạng đường chéo). (ii) Mọi ma trận đối xứngA∈M atR(n) tồn tại ma trận trực giao P ∈O(n) sao cho
tP AP là ma trận đường chéo.
Chứng minh: Việc chứng minh dựa vào các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Mọi gía trị riêng của ma trận đối xứng đều là số thực.
Gỉa sử λ∈Clà gía trị riêng của A. Ta cần chứng minh λlà số thực, i.e. λ=λ. Ta có Ax=λx, vớix∈Cn\0 là vector riêng (phức) của A. Lấy liên hợp hai vế
Ax=Ax=λx=λx.
Do Alà ma trận thực nên A=A. Suy ra Ax=λx, i.e. λlà một gía trị riêng của A. Ta có txAx= txλx=λtxx.
110
Mặt khác, dotA=A, txAx= t(tAx)x= t(Ax)x=λtxx.
Vậy (λ−λ)txx= 0. Dotxx=|x1|2+· · ·+|xn|2 >0, λ=λ.
Bổ đề 2. Nếu λ là gía trị riêng của ma trận đối xứng A và V = Vλ⊥, thì V là
A-bất biến, nghĩa là A(V)⊂V.
Thực vậy, với mọi x∈V, i.e. < x, e >= 0, ∀e∈Vλ, ta có
< Ax, e >=< x, Ae >=< x, λe >=λ < x, e >= 0, ∀e∈Vλ.
Suy ra Ax∈Vλ⊥=V, i.e. A(V)⊂V.
Để chứng minh định lý ta lập luận qui nạp theo dimE. Do Bổ đề 1, A có gía trị riêng λ1. ĐặtV=Vλ⊥1, theo Bổ đề 2, A|V :V→V. Theo gỉa thiết qui nạp tồn tại cơ sở trực chuẩn B của V gồm toàn vector riêng của A|V. GọiB1 là cơ sở trực chuẩn củaVλ1. B=B1∪B là cơ sở trực chuẩn củaE gồm toàn vector riêng củaA. Nhận xét. Gỉa sửλ1 vàλ2 là các gía trị riêng khác nhau của ma trận đối xứngA. Khi đó các không gian con riêngVλ1 ={x∈E :Ax=λ1x}vàVλ2 ={x∈E :Ax=λ2x}
là trực giao với nhau, Vλ1 ⊥Vλ2.
Thực vậy, gỉa sử e1 ∈Vλ1 vàe2∈Vλ2 . Khi đó
λ1< e1, e2 >=< λ1e1, e2 >=< Ae1, e2 >=< e1, Ae2>=< e1, λ2e2 >=λ2 < e1, e2> .
Do λ1 =λ2, < e1, e2>= 0, i.e. Vλ1 ⊥Vλ2. Tóm tắt ta có thuật toán sau:
4.4 Thuật toán chéo hóa trực giao ma trận đối xứng. Input: A∈M atR(n),tA=A.
Output: P ∈O(n),D ma trận đường chéo, sao choP−1AP =D. Bước 1: Giải phương trình PA(λ) = det(A−λI) = 0.
Phương trình luôn có đủ nnghiệm thực: λ1,· · ·, λs bộir1,· · ·, rs (r1+· · ·+rs=n). Bước 2: Vớii= 1,· · · , s, giải phương trình tuyến tính:
(A−λiI)x= 0 , tìm vector riêng . Phương trình có đủri nghiệm độc lập tuyến tính: f1i,· · ·, frii. Trực chuẩn hoá G-S ta có: ei1,· · · , eiri.
Bước 3: Xếp các nghiệm eij theo cột: P = (e11· · ·esrs). Khi đó P ∈O(n)và
P−1AP = tP AP = diag(λ1,· · · , λ1
r1
,· · · , λs,· · · , λs
rs
)
Ví dụ. Chéo hóa trực giao ma trận sauA=
1 2 2 2 1 2 2 2 1 . Đa thức đặc trưng: PA(λ) = (λ−5)(λ+ 1)2.
Chương VII. Không gian vector Euclid 111 - Với gía trị riêng λ = 5, giải phương trình tuyến tính tương ứng, ta có các vector riêng là(x, x, x), x∈R.
Chọn một vector (nghiệm) cơ sở, chẳng hạn a1 = (1,1,1). Chuẩn hóa: e1= √1
3(1,1,1).
- Với gía trị riêng λ=−1(bội2), các vector riêng ứng với gía trị riêng này có dạng tổng quát: (x, y,−x−y), x, y ∈R. Chọn2 vector cơ sở, chẳng hạn a2 = (1,0,−1), a3 = (0,1,−1). Trực giao hóa: b2 =a2= (1,0,−1), b3=a3−< a3, b2 > < b2, b2>b2= (−1,2,−1). Chuẩn hóa: e2= √1 2(1,0,−1), e3 = √1 6(−1,2,−1). Đặt P = 1/√ 3 1/√ 2 −1/√ 6 1/√ 3 0 2/√ 6 1/√ 3 −1/√ 2 −1/√ 6 .
VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương
Dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng một một với dạng toàn phương. Biểu diễn qua tọa độ dạng toàn phương là một đa thức thuần nhất bậc hai. Dạng toàn phương có nhiều ứng dụng vào các bài toán cơ học, hình học, cực trị,.... Chương này sẽ đề cập đến: thuật toán Lagrange nhằm đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, dạng xác định dấu và tiêu chuẩn Sylvester để nhận biết khi nào dạng xác định dấu, tiêu chuẩn này có thể ứng dụng vào bài toán cực trị (điều kiện đạo hàm cấp 2). Phần cuối chương xét việc tìm biến đổi trực giao để đưa một dạng toàn phương trong không gian Euclid về dạng chính tắc (định lý trục chính), đểø áp dụng vào việc nghiên cứu hình học các đường, mặt bậc 2ở chương sau.
1. Dạng song tuyến tính ChoV là không gian vector trên K.
1.1 Định nghĩa. Một dạng song tuyến tính trên V là ánh xạ q :V ×V −→ K, thỏa các điều kiện sau với mọi x, x, y, y ∈V và α, β ∈K:
(B1) q(x+x, y) = q(x, y) +q(x, y)
q(αx, y) = αq(x, y)
(B2) q(x, y+y) = q(x, y) +q(x, y)
q(x, βy) = βq(x, y)
Nói cách khácq tuyến tính theo từng biến.
Dạng song tuyến tính q gọi làđối xứng nếuu q(x, y) =q(y, x),∀x, y∈V.
Ví dụ.
a) Định thức cấp 2 là dạng song tuyến tính theo vector cột (dòng) trong K2. b) Tích vô hướng trên không gian các vector hình học E3 : x.y =xycos(x, y).
c) Tích vô hướng Euclid trong Rn :< x, y >=x1y1+· · ·+xnyn= txy. d) Dạng song tuyến tính sinh bởi ma trận A= (aij)∈M atK(n):
qA:Kn×Kn−→K, qA(x, y) =txAy= n i=1 n j=1 aijxiyj.
Để ý là qA đối xứng khi và chỉ khiA là ma trận đối xứng, i.e. aij =aji,∀i, j.
1.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính.
Giả sử B= (e1,· · · , en) là cơ sở củaV vàq là dạng song tuyến tính trênV. Khi đó q(x, y) =q( i xiei, j yjej) = n i,j=1 q(ei, ej)xiyj
Vậyq được hoàn toàn xác định bởi ma trận A= (ai,j) = (q(ei, ej))∈M atK(n). Ma trận A gọi làma trận biểu diễn của q trong cơ sở B.
114 Ta có
q(x, y) = txBAyB
Bài tập: Chứng minh q đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng.
Ví dụ. Ma trận biểu diễn của qA trong ví dụ 1.1 d) trong cơ sở chính tắc chính là ma trận A. Vì vậy tích vô hớng có ma trận biểu diễn trong cơ sở chính tắc là ma trận đơn vị.
Bài tập: Xác định ma trận biểu diễn của định thức cấp 2 trong cơ sở chính tắc.
1.3 Chuyển cơ sở.
Giả sử A là ma trận biểu diễnq trong cơ sở B.
A là ma trận biểu diễnq trong cơ sởB.
Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từB sang B, i.e. B=BP. Khi đó với x, y∈V, xB =P xB và yB=P yB.
Vậy q(x, y) = txBAyB = atxBtP AP yB,∀x, y∈V.
Suy ra mối quan hệ giữa Avà A:
A = tP AP
Nhận xét. Từ công thức trên suy ra hạng của ma trận biểu diễn q không phụ thuộc cơ sở. Ta có
1.4 Định nghĩa. Hạng của dạng song tuyến tínhq, ký hiệu rank(q), là hạng của ma trận biểu diễn Atrong cơ sở nào đó.
Ta nóiq làkhông suy biến nếuu rank(q) = dimV. 2. Dạng toàn phương
2.1 Định nghĩa. Q : V −→ K gọi là dạng toàn phương nếuu tồn tại dạng song tuyến tính q trênV sao cho: Q(x) =q(x, x), ∀x∈V.
Khi đó ta nói dạng toàn phương Q sinh bởi dạng song tuyến tínhq. Nhận xét. Qlà thuần nhất bậc 2, i.e. Q(αx) =α2Q(x), ∀x∈V, α∈K. Ví dụ.
a) Trong R2 với tọa độ(x1, x2), mọi dạng toàn phương có dạng:
Q(x1, x2) =ax21 + bx1x2 + cx22 = (x1 x2) a b/2 b/2 c x1 x2
b) Một dạng toàn phương trong Rn là đa thức thuần nhất bậc 2theon biến:
Q(x) =txAx=
n
i,j=1
aijxixj
Để ý là dạng song tuyến tính qA(x, y) =txAy cho ở ví dụ 1.2 d), sinh ra dạng toàn phương trên.
Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 115 c) Tích vô hướng Euclid trong Rn sinh ra dạng toàn phương: x21+· · ·+x2n.
d) Dạng Lorentz trong không-thời gianR4 ={(x, y, z, t)}: x2+y2+z2−ct2 (c >0). Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính sinh ra cùng một dạng toàn phương. Chẳng hạn, các dạng song tuyến tínhq =ax1y1+λx1y2+µx2y1+cx2y2, vớiλ+µ=b, cùng sinh ra một dạng toàn phương Q=ax21+bx1x2+cx22.
2.4 Mệnh đề. Mọi dạng toàn phương Q tồn tại duy nhất dạng song tuyến tính đối xứngq˜sinh raQ, i.e. có tương ứng 1-1 giữa dạng toàn phương và dạng song tuyến tính đối xứng.
Chứng minh: Gỉa sử q là dạng song tuyến tính sinh ra Q. Đặtq˜(x, y) = 1
2(q(x, y) +
q(y, x). Khi đó q˜là dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra Q. Từ tính đối xứng của q˜, ta có
˜
q(x+y, x+y) = ˜q(x, x) + ˜q(y, y) + 2˜q(x, y).
Suy ra q˜đợc xác định bởi công thức:
˜
q(x, y) = 1
2(Q(x+y)−Q(x)−Q(y)).
Vậy tính duy nhất của q˜được chứng minh.
Nhận xét. Theo chứng minh trên, dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra
Q(x) =txAx=
n
i,j=1
aijxixj
có ma trận là ma trận đối xứng hóa của A:
˜
A= 1
2(A+ tA) , i.e. ˜aij = 1
2(aij +aji).
2.3 Dạng cực của dạng toàn phương = Dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó.
Ma trận biểu diễn dạng toàn phương trong một cơ sở là ma trận (đối xứng) biểu diễn dạng cực của nó trong cơ sở đó.
3. Dạng chính tắc
Bài toán. Xét 3 bài toán tương đương sau:
1. Tìm cơ sở để ma trận biểu diễn dạng song tuyến đối xứng có dạng đơn giản.
2. Cho ma trận đối xứng A ∈M atK(n), tìm ma trận P ∈GlK(n) sao cho tP AP là ma trận đơn giản.
3. Cho dạng toàn phương Q=
n
i,j=1
aijxixj, tìm phép đổi biến x =P X sao choQ
116
Ta sẽ chứng minh có thể đưa về dạng ma trận đường chéo.
3.1 Định nghĩa. Cho q là dạng song tuyến tính trên V. Cơ sở B = (e1,· · · , en)
của V gọi là cơ sởq-trực giao nếuu q(ei, ej) = 0, ∀i=j.
Nhận xét. Một cơ sởq-trực giao khi và chỉ khi ma trận biểu diễn q trong cơ sở đó có dạng đường chéo.
Kết qủa sau được phát biểu dưới 3 dạng tương đương:
3.2 Định lý.
(i) Mọi dạng song tuyến tính đối xứng q trên không gian vector hữu hạn chiều đều tồn tại cơ sở q-trực giao.
(ii) Mọi ma trận đối xứngA∈M atK(n) đều tồn tại ma trận khả nghịchP ∈GlK(n)
sao cho tP AP là ma trận đường chéo. (iii) Mọi dạng toàn phương trên K, Q =
n
i,j=1
aijxixj, tồn tại biếi đổi tuyến tính
x=P X, sao cho theo biến mới Qcó dạng chính tắc
Q=λ1X12+· · ·+λnXn2.
Định lý ở dạng (iii) được chứng minh qua thuật toán sau:
3.3 Thuật toán Lagrange.
Input: Dạng toàn phương Q=
n i,j=1 aijxixj = 0 , (aij =aji) Ouput: Dạng chính tắcQ=λ1X12+· · ·+λnXn.2 Giả sử ở vòng lặp thứk−1, Q=λ1X12+· · ·+λk−1Xk2−1+Qk(Xk,· · · , Xn), trong đó Qk=akkXk2+ 2( j>k akjXj)Xk+ i,j>k aijXiXj
Bây giờ chỉ biến đổi Qk.
Bước 1:
• Trường hợp tồn tạiaii= 0: Hoán vị vị tríivà kbằng đổi biến
Xi =yk, Xk=yi, Xj =yj (j=i, k). Đặtλk =akk, rồi qua bước 2.
• Trường hợp mọiaii= 0, và tồn tại akl= 0: Dùng đổi biến
Xk=yk+yl, Xl =yk−yl, Xj =yj (j=k, l). Đặtλk=akl, rồi qua bước 2.
• Trường hợp akj = 0 với nọij ≥k: Đặtλk= 0, rồi qua bước 3. Bước 2: Sau bước 1 ta cóQk=λkyk2+· · · vớiλk= 0.
Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 117 Dùng biến đổi λy2+ 2by=λ(y+ b
λ) 2−b2 λ, ta có Qk = λkyk2 + 2( j>k akjyj)yk + i,j>k aijyiyj = λk[yk+ 1 λk( j>k akjyj) ]2 − 1 λk( j>k akjyj)2 + i,j>k aijyiyj Đổi biến: Xk=yk+ 1 λk j≥k akjyj, Xj =yk (j≥k). Khi đó Qk=λkXk2 + Qk+1(Xk+1,· · ·, Xn).
Bước 3: Nếu k < n, tăngk lên1.
Sau hữu hạn vòng lặp (khik=n)Qcóù dạng chính tắc cần tìm. Ví dụ. Đưa về dạng chính tắc dạng toàn phương
Q= 2x1x2−4x2x3+ 6x3x1
Vì các hệ số củax21, x22, x23 bằng0, và hệ số của x1x2 khác0, ta đổi biến:
x1 =y1+y2, x2 =y1−y2, x3 =y3. Thay vào: Q = 2(y1+y2)(y1−y2)−4(y1−y2)y3+ 6y3(y1+y2) = 2y12+ 2y3y1−2y22+ 10y2y3 = 2(y1+ 1 2y3)2−1 2y32−2y22+ 10y2y3 Đổi biến X1 =y1+1
2y3, rồi tiến hành tương tự cho các biến sau:
Q = 2X12−2y22+ 10y2y3−1 2y32 = 2X12−2[(y2−5/2y3)2−25/4y23]−1 2y23 = 2X12−2(y2−5/2y3)2+ 12y23 Đổi biến X2 =y2−5/2y3, X3=y3. Ta có dạng chính tắc: Q= 2X12−2X23+ 12X32
Nhận xét. Có thể xây dựng thuật toán ở dạng ma trận của định lý trên:
Để tìmP sao chotP AP =Dcó dạng đường chéo, ta cần lần lượt biến đổi sơ cấp trên dòng (= nhân bên trái Abởi ma trận sơ cấp E) đi đôi với biến đổi sơ cấp cùng kiểu trên cột (= nhân bên phải A bởi ma trận sơ cấp tE). Từ đó ta có:
118
Thuật toán:
Input: Ma trận đối xứngA.
Output: Các ma trận P khả nghịch vàD đường chéo, sao cho tP AP =D
Bắt đầu thực hiện các biến đổi sơ cấp từ(I|A).
Giả sử ở vòng lặp thứk−1,I đã biến đổi thành I vàA có dạng λ1 · · · 0 0 · · · 0 ... ... ... 0 · · · λk−1 0 · · · 0 0 · · · 0 akk · · · akn ... ... ... ... 0 · · · 0 ank · · · ann Bước 1:
• Trường hợp tồn tạiaii= 0: Biến đổiDi ↔Dk, rồi qua bước 2.
• Trường hợp mọiaii= 0, và tồn tại akl= 0:
Biến đổi Dk+Dl &Dl−Dk (=Dk+Dl,2Dl−Dk) trên cặp (I|A). Biến đổi Ck+Cl &Cl−Ck chỉ trên A, rồi qua bươc 2.
• Trường hợp akj = 0 với mọij≥k: qua bước 3.
Bước 2: Sau bước 1 ta cóakk = 0. Khử các phần tử khác0 phía dưới akk, bằng biến
đổi trên (I|A):
Dj−αjDk, vớiαj = aij
akk (j > k)
Khử các phần tử khác 0 phía phảiakk, bằng biến đổi chỉ trên A:
Cj−αjCk, với αj = aij
akk (j > k)
Bước 3: Nếu k < n, tăngklên 1
Saun vòng lặpA→Dcó dạng đường chéo và I → tP, thoả tP AP =D. Ví dụ. Ma trận biểu diễn của dạng toàn phương ở ví dụ trên:
A= 0 1 −2 1 0 3 −2 3 0
Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 119 Thuật toán trên được tiến hành như sau (không thực hiện biến đổi trên cột củaI)
(I|A) = 1 0 0 | 0 1 −2