Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán đã đợc đề cập nhiều ở Chơng 1 và Chơng 2. Việc phân tích dụng ý của đề kiểm tra cũng nh đánh giá sơ bộ kết quả làm bài kiểm tra thêm một lần nữa cho thấy rằng: năng lực giải toán và sự phòng tránh, sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán còn có phần hạn chế.
Nhận định này còn đợc rút ra từ thực tiễn s phạm của tác giả và sự tham khảo ý kiến của rất nhiều giáo viên Toán Trung học phổ thông.
Khi quá trình thực nghiệm mới đợc bắt đầu, quan sát chất lợng trả lời các câu hỏi cũng nh giải các bài tập, có thể nhận thấy rằng: nhìn chung, học sinh lớp đối chứng và ngay cả lớp thực nghiệm cũng ở vào tình trạng nh vậy. Chẳng hạn:
- Khi đứng trớc bài toán giải và biện luận phơng trình theo tham số, học sinh không phân biệt đợc hai dạng bài toán: giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình theo tham số m với tìm điều kiện m để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm; học sinh không ý thức đợc sự cần thiết phải chia m thành các trờng hợp riêng, hoặc không biết chia thành những trờng hợp nh thế nào;
- Khi giải Toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối, thì học sinh mở dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bỏ hai dấu giá trị tuyệt đối là đợc, mà không phân chia tr- ờng hợp hoặc bình phơng hai vế đa về phơng trình bậc hai.
Với giáo viên, cha chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các quan điểm đợc xây dựng ở Chơng 2 vào quá trình dạy học, các giáo viên dạy thực nghiệm đều có ý kiến rằng: không có gì trở ngại, khó khả thi trong việc vận dụng các quan điểm này; những quan điểm, đặc biệt những gợi ý về cách đặt câu hỏi và cách dẫn dắt là hợp lí các hoạt động, vừa sức đối với học sinh; cách hỏi và dẫn dắt nh vậy vừa kích thích đợc tính tích cực, độc lập của học sinh lại vừa kiểm soát đợc, ngăn chặn đợc những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh; học sinh đợc lĩnh hội những tri thức phơng pháp trong quá trình giải quyết vấn đề.
Giáo viên hứng thú khi dùng các quan điểm đó, còn học sinh thì học tập một cách tích cực hơn, những khó khăn và sai lầm của học sinh đợc chỉ ra trên đây đã giảm đi rất nhiều và đặc biệt là đã hình thành đợc cho học sinh một “phong cách” t duy khác trớc rất nhiều. Học sinh đã bắt đầu ham thích những dạng toán mà trớc đây họ rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm khi đứng trớc các dạng đó.