Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: y2 – 2x2 = 1 Giải: y2 – 2x2 = 1 <=> y2 = 2x2 + 1 (1) Từ (1) ta thấy y là số lẻ nên y có dạng: y = 2k + 1 (k ∈ Z*) => (2k + 1)2 = 2x2 + 1 => x2 = 2(k2 + k) => x là số chẵn mà x là số nguyên tố. => x = 2. Thay x = 2 vào (1) ta đợc y = 3.
Vậy x = 2 & y = 3 là nghiệm nguyên tố của phơng trình.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: xy + 1 = z (2)
Giải:
Vì là nghiệm nguyên tố nên x, y ≥ 2 => xy ≥ 4.
Do đó z ≥ 5, mà z là số nguyên tố nên z lẻ => xy + 1 lẻ => xy chẵn => x chẵn, mà x là số nguyên tố nên ta có x = 2.
Thay x = 2 vào (2) ta đợc 2y + 1 = z (2’) Ta xét hai trờng hợp chẵn, lẻ của y.
* Nếu y lẻ thì y có dạng 2k + 1(với k ∈ Z+) => (22k + 1 +1) (2+ 1) hay (22k + 1 +1) 3 => z 3 điều này vô lý vì z là số nguyên tố lớn hợn 5.
Vậy y không thể lẻ.
* Nếu y chẵn mà y là số nguyên tố => y = 2, thay vào (2’) ta đợc z = 5. Vậy nghiệm của phơng trình là (x, y, z) = (2, 2, 5).
Ví dụ 3:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 3.2x + 1 = y2. (3)
Giải:
Ta thấy VT là số lẻ => y2 lẻ => y lẻ. Vậy y = 2k + 1 (với k ∈ Z+)
Từ (3) ta có: 3.2x + 1 = (2k + 1)2 <=> 3.2x = 4k(k + 1) <=> 3.2x – 2 = k(k + 1). (3’) Vì k, k + 1 không cùng tính chẵn lẻ, nên từ (3’) => 2x – 2 =2 <=> x = 3 => y = 5. Hoặc 2x – 2 = 4 <=> x = 4 => y = 7.
Vậy nghiệm của phơng trình là: (3;5); (4;7)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 – 2y2 = 5. (4) Giải: Từ (4) => x là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k∈ Z) vào (4) ta đợc: 4k2 + 4k + 1 – 2y2 = 5 <=> y2 = 2(k2 + k – 1) (4’) => y2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t ∈ Z) thay vào (4’) ta có: 2(k2 + k – 1) = 4t2 <=> k(k + 1) = 2t2 + 1 (*) Ta thấy k(k + 1) là số chẵn, còn 2t2 + 1 là số lẻ => PT (*) vô nghiệm.
Vậy phơng trình (4) không có nghiệm nguyên.