Chứng minh các đẳng thức về vectơ

Một phần của tài liệu Giáo án toán chủ đề tự chọn nâng cao (full) pot (Trang 29 - 30)

M D= N E.

1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ

* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.

Chứng minh rằng: a. SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = + b. SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2

Giải

a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: SA SCuur uuur+ =2SOuuur (1)

So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = + b. Ta có: 2 2 2 ( ) 2 . SA= SO OA+ =SO +OA + SO OA

uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mà OA OCuuur uuur r+ =0 nên

2 2 2 2 2

2

SA +SC = SO +OA +OC

uur uuur uuur uuur uuur

Tương tự ta có: SBuur2+uuurSD2 =2uuurSO2+OBuuur2+ODuuur2 Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có

OAuuur = OBuuur= OCuuur = ODuuur

Từ đó suy ra SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN.

Chứng minh rằng:

a. uuur uuur uuur uuurAD BC+ = AC BD+ =2MNuuuur b. GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

c. PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4uuurPG với P là một điểm bất kì.

Giải:

a. Ta có: MNuuuur uuur uuur uuur=MA AD DN+ + và

MN =MB BC CN+ + uuuur uuur uuur uuur Suy ra:

2MNuuuur=(MA MBuuur uuur+ )+uuur uuurAD BC+ +(uuur uuurDN CN+ ) Vì MA MB DN CNuuur uuur uuur uuur r+ = + =0 nên

2MNuuuur uuur uuur= AD BC+

Ta suy ra: uuur uuur uuur uuurAD BC+ =AC BD+ =2MNuuuur b. Vì

2 , 2 , 0

GA GBuuur uuur+ = GMuuuur GC GDuuur uuur+ = GNuuur GM GNuuuur uuur r+ = nên GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:

(uuur uuurPA PG− ) (+ uuur uuurPB PG− ) (+ uuur uuurPC PG− ) (+ uuur uuurPD PG− ) 0=r Do đó: PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4uuurPG

Một phần của tài liệu Giáo án toán chủ đề tự chọn nâng cao (full) pot (Trang 29 - 30)

Tải bản đầy đủ (DOC)

(37 trang)
w