Để T và I là hai ảnh vân tay tơng ứng với vân tay mẫu và vân tay đầu vào. Một số đo trực quan về sự đa dạng (SSD) đợc tính bằng tổng các bình phơng khác nhau của các cờng độ các điểm ảnh tơng ứng:
SSD(T,I) = ||T-I||2
=(T-I)T(T-I) = ||T||2 + ||I||2 -2TTI (1)
Trong đó chỉ số trên T kí hiệu sự hoán vị của một vector. Nếu ||T||2 và ||I||2 là hằng số, sự đa dạng giữa hai ảnh đợc tối thiểu khi độ tơng quan (CC) giữa T và I đợc cực đại:
CC(T,I) = TTI. (2)
Đại lợng -2.CC(T,I) xuất hiện nh là đại lợng thứ ba của biểu thức (1). Độ tơng quan chéo (hay gọi đơn giản là độ tơng quan) là độ đo tính tơng tự giữa hai ảnh. Do sự đổi chỗ và sự quay là không thể tránh khỏi đặc tính vết ấn của một ngón tay cho trớc, tính tơng tự giữa chúng không thể đơn giản đợc tính bằng cách đặt chồng T và I áp dụng biểu thức (2).
Kí hiệu I(∆x, ∆y,θ) thể hiện một sự quay của ảnh đầu vào I bởi một góc θ quanh điểm đầu (thờng là trung tâm ảnh) và dịch một đoạn ∆x, ∆y dọc theo trục x và y; khi đó độ tơng tự giữa hai ảnh T và I có thể đợc đo nh sau:
S(T,I) = max CC(T, I(∆x, ∆y,θ)). (3)
ứng dụng trực tiếp của đẳng thức (3) hiếm khi dẫn tới các kết quả chấp nhận đợc chủ yếu là do các vấn đề sau:
Các nhiễu phi tuyến làm cho các vết ấn của cùng một ngón tay khác nhau trong cấu trúc toàn cục; Sự nhiễu mềm dẻo không thay thế mẫu vân tay ở các vị trí cục bộ, nhng các hiệu ứng của nhiễu đợc tích hợp trong không gian ảnh, mẫu vân tay toàn cục không thể đợc tơng quan một cách đáng tin cậy.
Điều kiện da và áp lực ngón tay làm cho độ sáng, độ tơng phản, độ giày vân thay đổi trong các vết ấn khác nhau. Sử dụng các số đo độ tơng quan phức tạp hơn nh độ tơng quan chéo đợc chuẩn hóa hay độ tơng quan chéo đợc chuẩn hóa 0 - Trung bình có thể bỏ qua sự thay đổi độ sáng, độ tơng phản để áp dụng các bớc tăng cờng ảnh, nhị phân hóa và làm mảnh (thực hiện trên cả ảnh T và I) có thể hạn chế độ dày vân. Hatano (2002) đã đa ra giả thuyết sử dụng độ t- ơng quan khác nhau, đợc tính nh là độ tơng quan lớn nhất trừ đi độ tơng quan nhỏ nhất, trong một lân cận điểm nơi mà độ tơng quan là lớn nhất. Trong thực tế, do tính chu kì của các mẫu vân tay, nếu hai phần tơng ứng của cùng một vân tay không đợc căn chỉnh tơng ứng với vị trí đối sánh tối u, giá trị độ tơng quan hạ thấp trong khi hai vị trị không tơng quan thể hiện một giá trị tơng quan phẳng hơn trong lân cận của vị trí so khớp tối u. Hantano đã báo cáo một sự cải thiện độ chính xác tơng ứng với phơng pháp độ tơng quan truyền thống. Để ứng dụng trực tiếp biểu thức (3) đòi hỏi chi phí rất lớn. Ví dụ xem xét hai ảnh 400x400, sau đó sự tính toán độ tơng quan ở đẳng thức (2) cho một giá trị đơn của (∆x, ∆y,θ) yêu cầu 16000 phép nhân và 16000 phép cộng. Nếu ∆x, ∆y đều đợc lấy mẫu trong miền [-200, 200] và θ đợc lấy mẫu từng 1 độ trong miền [-30o, 30o]
chúng ta phải tính 401x401x61 độ tơng quan, kết quả là gần 1569 tỉ phép nhân và phép cộng (vậy là cần hơn 1h với máy tính 500MIPS).
Vấn đề nhiễu ảnh vân tay (điểm 1 trong danh sách trên) thờng đợc đặt ra khi tính độ tơng quan cục bộ thay vì toàn cục: một tập các miền cục bộ (mà cỡ điển hình có thể là 24x24 hoặc 32x32) đợc trích chọn từ ảnh mẫu T và mỗi chúng đợc tơng quan độc lập với toàn bộ ảnh đầu vào I (Bazen 2000). Các miền cục bộ có thể đợc tính bằng vài cách:
Hợp của chúng hoàn toàn che phủ T và giao của chúng là rỗng.
Hợp của chúng hoàn toàn che phủ T và chúng cục bộ đè chồng.
Chỉ các vùng “thú vị” đợc lựa chọn từ T. Ví dụ: Yahagi, Igaki chọn các cửa sổ nhỏ quanh các chi tiết, trong khi Bazen (2000) xem xét các miền đợc chọn phân biệt cục bộ trên ảnh đầu vào (phù hợp ở vị trí bên phải, nhng không phù hợp với các vị trí khác). Các hạng mục đợc đa ra bởi Bazen để nhận dạng các vùng đợc chọn này trong ảnh mẫu: Các vùng quanh chi tiết, các vùng có các vân có độ cong cao, và các vùng thể hiện độ tơng quan thấp ở các vị trí trong chính ảnh mẫu.
Khi độ tơng quan đợc tính một cách cục bộ, ớc lợng độ tơng quan ở các vùng khác có thể đợc tính bằng cách kết hợp để nhận đợc độ đo tính tơng tự (ví dụ: số các ớc lợng vợt quá một ngỡng cho trớc đợc chia ra bởi tổng các ớc lợng). Bổ sung vào giá trị của độ tơng quan, sự đồng bộ của các điểm nơi mà mỗi vùng có độ tơng quan lớn nhất có thể đợc sử dụng để tăng cờng đối sánh: trong thực tế, mối liên hệ không gian (khoảng cách, góc...) giữa các vùng trong mẫu và các vùng tơng ứng trong ảnh đầu vào đợc giữ lại. Trong bất kì trờng hợp nào, không có sự bảo đảm khi sử dụng b- ớc hợp nhất là thực sự thuận lợi.
Để tính độ phức tạp của kĩ thuật dựa độ tơng quan, các phơng pháp thông minh có thể đợc sử dụng để đạt đợc sự thi hành hiệu quả:
Định lý độ tơng quan (Gonzales và Woods, 1992) phát biểu rằng: tính toán độ tơng quan trên các miền không gian (toán tử...) là tơng đơng với thực hiện một phép nhân miền điểm trên miền Fourier, trong thực tế:
( )
1 *
( ) ( )
T⊗ =I F− F T xF I (4)
Trong đó: F(.)là biến đổi Fourier của một ảnh, F-1(.)là biến đổi Fourier ngợc, * kí hiệu liên hợp phức, và “x” là kí hiệu nhân điểm với điểm của hai vector. Kết quả của đẳng thức (4) là ảnh độ tơng quan mà các giá trị ở các điểm [x,y] thể hiện độ tơng
quan giữa T và I trong khi sự đổi chỗ là ∆x = x, ∆y = y. Đẳng thức (4) không xem xét sự quay, phải đợc giải quyết tách ra; trong bất kì trờng hợp nào, tiết kiệm tính toán là rất cao trong khi độ tơng quan đợc thực hiện một cách toàn cục (Coezteen và Botha, 1993) và khả năng xem xét khi nó đợc thực hiện một cách cục bộ bằng cách sử dụng các miền cỡ trung bình.
Tính toán độ tơng quan lớn nhất không cần phải thực hiện tuần tự, theo cách vét cạn, các phơng pháp đa phân giải, các kĩ thuật tìm kiếm không gian (Gradient Descent), và vài kinh nghiệm có thể đợc chấp nhận để làm giảm số các đánh giá.
Biến đổi Fourier-Mellin (Sujan và Mulqueen) có thể đợc sử dụng thay cho biến đổi Fourier để đánh giá đợc sự không thay đổi trong phép quay để bổ sung vào sự không thay đổi trong chuyển dịch; nói một cách khác, vài bớc thêm vào (nh chuyển đổi log) phải đợc thực hiện, nhng chúng có thể làm giảm sự chính xác của giải pháp.
Phơng pháp đa ra bởi Wilson, Watson, và Paek (1997) phân hoạch cả T và I vào trong các miền cục bộ và tính toán độ tơng quan lớn nhất (trong miền Fourier) giữa các cặp vùng. Phơng pháp này bị ảnh hởng bởi hiệu ứng viền do sự đè chồng không gian giữa các khối khác nhau, nhng có thể đợc xem xét để tăng tốc độ của toàn bộ quá trình đối sánh.
Độ tơng quan giữa hai tín hiệu có thể đợc tính bởi một hệ thống sử dụng thấu kính để dẫn xuất biến đổi Fourier của một ảnh và kết hợp các độ tơng quan biến đổi cho sự đối sánh giữa chúng. Vài hệ thống đã đợc đa ra trên thực tế cho đối sánh vân tay quang học.