Phương phỏp chọn (cũn gọi là phương phỏp hệ số bất định). Xột cỏc trường hợp sau:
1.Trường hợp 1: fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n).
Nếu (3) khụng cú nghiệm λ = 1, thỡ tỡm
n
x∗ = Qk(n) Trong đú Qk(n) là đa thức bậc k của n.
Nếu (3) cú nghiệm đơn λ = 1, thỡ xn∗ = nQk(n) Nếu (3) cú nghiệm kộp λ = 1, thỡ xn∗= n2Qk(n)
Thớ dụ 1. Tỡm nghiệm riờngxn∗ của phương trỡnh sai phõn
Xn+2 = -4xn+1 + 5xn + 12n + 8
Giải. Phương trỡnh đặc trưng λ2 + 4λ - 5 = 0 cú nghiệm λ = 1 và λ = -5, do vậyxn∗ = n (an + b). Thay vào phương trỡnh sai phõn, ta được
(n + 2) [a(n + 2 ) + b] + 4(n + 1) [a(n + 1) + b] – 5n (an + b) = 12n + 8. Cho n = -1 ⇒ a + b + 5(- a + b) = -4 ⇔ 2a – 3b = 2
Cho n = 0 ⇒ 2(2a + b) + 4(a + b) = 8 ⇔ 4a + 3b = 4. Giải hệ này, ta đựơc a = 1, b = 0 và xn∗ = n2’
Thớ dụ 2. Giải phương trỡnh sai phõn. 2xn + 2 – 5xn + 1 + 2xn = - n2 – 2n + 3
Xo = 1, x1 = 3.
Giải. Phương trỡnh đặc trưng 2λ2 - 5λ + 2 = 0 cú cỏc nghiệm λ = 2 và λ = 1
2, do vậy n = A2n + B 1
2n , xn∗ = an2 + bn + c. thay xn∗ vào phương trỡnh sai phõn, ta được
2[a(n + 2)2 + b(n + 2)+c] 5[a(n + 1)2 + b(n + 1 + c] + 2(an2 + bn + c) = = - n2– 2n + 3 So sỏnh hệ số của n2, n và hệ số tự e ở 2 vế ta được a = 1, b = c = 0. Vậy xn∗ = n2 và xn = n + xn∗ = A.22 + B 1 2n + n2. Với xo = 1 = A + B, x1 = 3 = 2A + 1 2B + 1 ⇒ A = 1, B = 0 và xn = 22 + n2. 2. Trường hợp2: fn = pk(n)βn, trong đú pk(n) là đa thức bậc k của n. Nếu phương trỡnh đặc trưng (3) khụng cú nghiệm λ = β thỡ tỡm
n
x∗ = Qk(n)βn Nếu (3) cú nghiệm đơn λ = β thỡ
xn∗ = n.Qk(n)βn
Nếu (3) cú nghiệm kộp
xn∗ = n2.Qk(n)βn
trong đú Qk(n) là đa thức bậc k của n.
Thớ dụ 1. Tỡm nghiệm riờng của phương trỡnh sai phõn
2nn + 2 + 5xn + 1 + 2xn = (35n + 51). 3n. Giải. Phương trỡnh đặc trưng 2λ2 + 5λ + 2 = 0 cú nghiệm λ1 = -2, λ2 = 1
2
Thay xn∗ vào phương trỡnh đặc trưng và nhúm cỏc số hạng đồng dạng, ta được 35an + 51a + 35b = 35n + 51