Sự lựa chọn tỷ lệ tự động và các đặc tính của các tỷ lệ đƣợc chọn đã đƣợc nghiên cứu rộng rãi. Ý tƣởng là lựa chọn tỷ lệ đặc trƣng của một cấu trúc cục bộ, mà đối với nó một hàm cho trƣớc đạt đƣợc một cực trị trên tất cả các tỷ lệ. Liên quan tới việc lựa chọn tỷ lệ tự động, thuật ngữ characteristic trƣớc tiên đề cập đến một sự việc là tỷ lệ đƣợc chọn ƣớc lƣợng chiều dài đặc trƣng (characteristic length) của các cấu trúc ảnh tƣơng ứng, theo cách tƣơng tự nhƣ khái niệm về chiều dài đặc trƣng đƣợc dùng trong Vật lý. Tỷ lệ đƣợc chọn là đặc trƣng theo nghĩa định lƣợng, vì nó đo đƣợc tỷ lệ mà ở đó có sự giống nhau tối đa giữa toán tử phát hiện đặc trƣng và các cấu trúc ảnh cục bộ. Sự ƣớc lƣợng tỷ lệ này sẽ tuân thủ hoàn toàn với sự bất biến tỷ lệ khi có sự thay đổi tỷ lệ của mẫu ảnh.
Cho một điểm trong một ảnh và một toán tử lựa chọn tỷ lệ chúng ta tính toán các đáp ứng của toán tử đó cho một tập các tỷ lệ n (Hình 2.7). Tỷ lệ đặc trƣng tƣơng ứng với cực trị địa phƣơng của các đáp ứng đó. Chú ý rằng có thể có vài cực đại hoặc cực tiểu, đó là các tỷ lệ đặc trƣng tƣơng ứng với các cấu trúc ảnh khác nhau đƣợc đặt vào giữa điểm này. Tỷ lệ đặc trƣng không phụ thuộc nhiều vào độ phân giải của ảnh. Nó liên quan tới cấu trúc và không liên quan tới độ phân giải mà ở đó cấu trúc đƣợc miêu tả. Tỷ lệ giữa các scale mà ở đó các cực trị đƣợc tìm thấy cho các điểm tƣơng ứng là thừa số tỷ lệ thực sự giữa các vùng lân cận của điểm đó. Nếu có quá ít điểm quan tâm đƣợc phát hiện thì nội dung ảnh đƣợc miêu tả không tin cậy cho mấy. Hơn nữa, các cuộc thí nghiệm đã cho thấy rằng hàm Laplacian-of-Gaussian tìm đƣợc tỷ lệ phần trăm cao nhất của các tỷ lệ đặc trƣng chính xác đƣợc cho bởi công thức sau:
2 n
Hình 2.7. Ví dụ về các tỷ lệ đặc trưng
Hình 2.7 minh họa cho các tỷ lệ đặc trƣng. Hàng trên thể hiện hai ảnh đƣợc lấy với các chiều dài cục bộ khác nhau. Dòng ở dƣới thể hiện các đáp ứng của hàm Fnorm(x, σn) trên các tỷ lệ, ở đó Fnorm là hàm LoG chuẩn (công thức 2.9). Các tỷ lệ đặc trƣng này nằm trong khoảng 10.1 và 3.89 đối với ảnh trái và ảnh phải. Tỷ lệ giữa các tỷ lệ tƣơng ứng là thừa số tỷ lệ (2.9) giữa hai ảnh. Bán kính của các vòng tròn bằng 3 lần tỷ lệ đặc trƣng.
Khi kích thƣớc của hàm nhân LoG khớp với kích thƣớc của cấu trúc
blob-like thì đáp ứng đó đạt đƣợc một cực trị. Vì vậy, hàm nhân LoG có thể đƣợc giải thích nhƣ một bộ lọc so khớp. Hàm LoG đƣợc làm thích nghi tốt với việc phát hiện đốm màu (blob) vì tính đối xứng tròn của nó, nhƣng nó cũng cung cấp một sự ƣớc lƣợng tốt về tỷ lệ đặc trƣng cho các cấu trúc cục bộ khác nhƣ các góc, các cạnh, các hình chóp và đa mối nối.