.1.1. Cho P là một điểm nằm bên trong hay trên 1 cạnh bất kì của hình vuông ABCD. Hãy xác định giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể có của hàm số
f(P) = ABP[+[BCP+CDP[ +DAP[ Lời giải: B A D C P
Đặt các đỉnh của hình vuông tương ứng với các giá trị 1, i, -1, -i trong mặt phẳng và coi P là số phức z. Khi đó f(P) là argument của số phức z thoả mãn
z−1 i+1 z−i −1−i z+1 −i+1 z+1 1+i = z4−1 4 Khi|P| ≤1, z4−1
4 chạy trên miền phẳng được giới hạn bởi đường tròn bán
kính 1/4, tâm có toạ độ -1/4. Do đó giá trị lớn nhất của góc đạt được tại 1 điểm trên biên của hình tròn trên, điều đó xảy ra khi P nằm trên cạnh của hình vuông. Do vai trò của các cạnh là như nhau, không mất tổng quát ta có thể giả sử cạnh đó là AB.
6 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Hà Nội
Khi P chạy từ A đến B thì CDP[ giảm từ π
2 đến π
4; [BCP giảm từ π
4 đến0; Hai góc còn lại nhận các giá trị là π
2 và 0.
Vậy ta có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(P)lần lượt là 5π
4 và 3π
4
.1.2. Cho hàm f :(0;∞)→R thoả mãn các điều kiện sau: (a) f tăng nghiêm ngặt
(b) f(x)>−1 x với mọi x>0 (c) f(x)f(f(x)+1 x)=1 với mọi x>0 Tính f(1). Lời giải:Đặt k=f(x)+1 x. Vì k>0 nên f(k)f(f(k)+1 k)=1 Mặt khác f(x)f(k)=1. Do đó f(x)=f(f(k)+1 k)=f( 1 f(x)+ 1 f(x) +1 x )
Do f tăng nghiêm ngặt nên ta có x= 1
f(x)+ 1
f(x) + 1
x
Giải ra ta thu được f(x)=1± √
5 2x . Dễ dàng kiểm tra được rằng chỉ có1−
√
5
2x thoả mãn các yêu cầu của đề bài. Do đó f(1)=1−
√
5 2
.1.3. Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn phương trình sau:
13
x2 +1996
y2 = z
1997
Lời giải:Đặt d=gcd(x,y), từ đó x=dx1, y=dy1
Khi đó phương trình đã cho tương đương với 1997(13)y21+1997(1996)x21=d2zy21x21
Khi x1 và y1 nguyên tố cùng nhau, ta phải có x21|1997 × 13,
y21|1997×1996
Dễ dàng kiểm tra được rằng 1997 không phải số chính phương và rõ ràng nó nguyên tố cùng nhau với 13 và 1996. Hơn nữa1996=22.499, và cũng dễ dàng kiểm tra được rằng 499 không phải số chính phương.
Đề thi olympic Hy Lạp 7 Khi đó(x1, y1) = (1, 1)hoặc (1,2)
Bài toán được chia thành 2 trường hợp: * Trường hợp 1:(x1, y1) = (1, 1). Khi đó
d2z = (13+1996)1997=1997.72.41
Khi 1997 nguyên tố cùng nhau với 7 và 41 thì d=1,7. Từ đó ta có kết quả lần lượt là:
(x,y,z)=(1,1,4011973), (7,7,81877)
* Trường hợp 2: (x1, y1) = (1, 2).Khi đó d2z = (13+499)1997 =
1997.29
Do đó d=1,2,4,8,16. Ta lại có các kết quả lần lượt là:
(x,y,z)=(1,2,1022464),(2,4,255616),(4,8,63904), (8,16,15976), (16,32,3994) Đó là các kết quả thu được.
.1.4. Cho P là một đa thức với các hệ số nguyên có 13 nghiệm nguyên phân biệt. Hãy chỉ ra rằng nếun ∈ Zkhông phải là nghiệm của P thì|P(n)| ≥ 7(6!)2. Hãy cho 1 ví dụ khi dấu bằng xảy ra.
Lời giải:Phân tích đa thức với các hệ số nguyên thành tích của các đa thức cũng có hệ số nguyên với bậc nhỏ hơn thì P(x) có thể viết dưới dạng
(x−r1)(x−r2)...(x−r13)Q(x)
trong đórs là 1 trong 13 nghiệm phân biệt của đa thức đó.
Do đó với tất mỗi số nguyên x, P(x) có giá trị bằng tích của 13 số nguyên phân biệt với 1 số nguyên khác.
Rõ ràng giá trị tuyệt đối nhỏ nhất của kết quả trên là |(1)(−1)(2)(−2)...(6)(−6)(7)(1)| =7(6!)2.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Một ví dụ khi dấu bằng đạt được đó là khi x=0
và P(x)=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)...(x+7)
Chương 2