3. Hàm mủ est
1.8 Mô hình hệ thống: Mô tả vào – ra.
Như đã nói, lý thuyết hệ thống liên quan đến nhiều dạng hệ thống, như điện, cơ, thủy lực, âm học cơ – điện, và hóa học cùng các hệ xã hội, kinh tế, và sinh học. Bước đầu trong phân tích bất kỳ hệ thống nào là kiến tạo mô hình hệ thống, là biểu thức toán học hay luật nhằm thỏa mãn một cách xấp xỉ đặc tính động của hệ thống. Chương này chỉ xem xét hệ thống liên tục theo thời gian. (Chương 8 thảo luận về hệ thống rời rạc theo thời gian.)
Để kiến tạo mô hình hệ thống, ta cần nghiên cứu quan hệ giữa nhiều biến trong hệ thống. Thí dụ trong hệ thống điện, ta cần xác định mô hình thỏa quan hệ dòng – áp của từng phần tử, như luật Ohm cho điện trở. Hơn nữa, ta còn phải xác định nhiều dạng ràng buộc về điện áp và dòng điện khi kết nối nhiều linh kiện điện lại với nhau. Các luật về kết nối như luật Kirchoff về điện áp và dòng điện. Từ các phương trình này, ta lượt bớt các biến không mong muốn, để có được quan hệ giữa biến ra theo biến vào. Thí dụ sau đây trình bày phương pháp tìm quan hệ vào – ra của một số hệ tuyến tính – bất biến dạng điện.
■ Thí dụ 1.10:
Trong mạch RCL hình 1.31, tìm phương trình vào – ra giữa điện áp vào f (t) và dòng điện ta y(t).
Dùng luật Kirchoff về điện áp qua vòng kín, ta có:
vL(t)+vR(t)+vC(t)= f(t) (1.47)
Áp dụng luật dòng – áp cho từng thành phần mạch (cuộn dây, trở và tụ), ta viết được phương trình có dạng: 3y(t) 2 y( )d f(t) dt dy t = + + ∫−∞ τ τ (1.48) Lấy vi phân hai vế của phương trình
dt df t y dt dy dt y d = + +3 2 ( ) 2 2 (1.49) Phương trình vi phần này là quan hệ vào – ra giữa ngõ ra y(t) và ngõ vào f(t). ■
Thực tế cho thấy nên dùng ý niệm D thay cho dt d , với Dy(t) dt dy = (1.50) 2 ( ) 2 t Dy dt y d = (1.51) Và tiếp tục, từ đó phương trình (1.49) được viết lại thành
(D2 +3D+2)y(t)=Df(t) (1.52) Toán tử vi phân là nghịch của toán tử tích phân, nên có thể dùng toán tử 1/D để biểu diễn tích phân.
∫−t∞ = y t D d
y(τ) τ 1 ( ) (1.53) Phương trình (1.48) cũng được viết lại thành
3 2 y(t) f(t) D D = + + (1.54) Do đó, phương trình (1.48) được viết lại thành:
(D2 +3D+2)y(t)=Df(t) (1.55) Đây chính là phương trình (1.52)
Nhắc lại là phương trình (1.55) không phải là phương trình đại số, và D2+3D+2
không phải là thừa số đại số nhân với y(t); mà là toán tử tác động lên y(t). Tức là ta phải thực hiện các phép tính sau lên y(t). Lấy đạo hàm bậc hai lên y(t) và cộng với 3 lần đạo hàm bậc nhất của y(t) và 2 lần y(t). Rõ ràng, đa thức chứa D nhân với y(t) biểu diễn một số toán tử vi phân tác động lên y(t).
■ Thí dụ 1.11:
Tìm phương trình quan hệ vào – ra của mạch RC nối tiếp trong hỉnh 1.32 khi điện áp ngõ vào f(t) và ngõ ra lần lượt là: (a) dòng điện vòng x(t) (b) điện áp ra trên tụ y(t).
(a) Phương trình vòng của mạch là
+ ∫−t∞x d =f t C
t
Rx( ) 1 (τ) τ ( )
Hay 15x(t)+5∫−t∞x(τ)dτ=f(t)
(1.57)
Dùng ý niệm toán tử, viết lại phương trình
15 ( ) 5 x(t) f(t)
Dt t
x + = (1.58) Nhân hai vế của phương trình với D, (tức là lấy vi phân hai vế), ta có
(15D+5)x(t)=Df(t) (1.59a) hay dt df t x dt dx+5 ( )= 15 (1.59b) (b) Hơn nữa, do ( ) 5 1 ) ( Dy t dt dy C t x = =
Thế vào phương trình (1.59a)
(3D+1)y(t)= f(t) (1.60) Hay 3 y(t) f(t) dt dy+ = (1.61) ■ ∆ Bài tập E 1.7
Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua cuộn dây vL(t). Hướng dẫn: vL(t)=LDy(t)=Dy(t). Đáp số (D2 +3D+2)vL(t)=D2f(t). ∇
∆ Bài tập E 1.8
Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua tụ vC(t). Hướng dẫn: ( ) 1 ( ) 2 y(t) D t y CD t vL = = . Đáp số (D2 +3D+2)vC(t)=2f(t). ∇ ■ Thí dụ 1.12:
Hệ chuyển động quay có phương trình chuyển động tương tự như trong trường hợp hệ dịch chuyển. Thay vì lực F, ta có momen xoắn T . Thay vì khối lượng M, ta có momen quán tính J, thay vì gia tốc tuyến tính x, ta có gia tốc góc θ. Phương trình chuyển động cho hệ quay là T =Jθ (thay vì là F =Mx).
Rất nhiều hệ thống điện cơ chuyển đổi năng lượng điện thành chuyển động cơ học và ngược lại. Hảy xem xét thí dụ đơn giản về hệ thống điều khiển phần ứng (với dòng điện phần cảm if không đổi) của động cơ DC, như vẽ ở hình 1.33a. Gọi à vị trí góc quay của rôto, momen T(t) do rôto tạo ra tỉ lệ với dòng điện phần ứng f (t), vậy:
T(t)=KT f(t) (1.62) Với KT là hằng số của động cơ. Momen này truyền động một tải cơ khí được vẽ ở hình 1.33b. Hệ số nhờn đàn hồi (có hệ số B), tỉ lệ với vận tốc quay θ, tạo momen tiêu hao
θ
B . Với J là momen quá tính của tải (bao gồm cả rôto của động cơ) thì momen
)( ( )
(t B t
T − θ phải bằng với Jθ(t); vậy
Jθ(t)=T(t)−Bθ(t) (1.63) Nên (JD2+BD)θ(t)=T(t)=KT f(t) (1.64) Có thể viết thành D(D+a)θ(t)=K1f(t) Với a=B/J và K1=KT /J . ■ 1.8-1 Mô tả nội tại và mô tả bên ngoài của hệ thống
Từ kiến thức về cấu trúc nội tại của hệ thống, ta viết được phương trình hệ thống dùng
mô tả nội tại của hệ thống. Ngược lại, khi mô tả hệ thống từ ngõ vào và đầu ra của hệ thống thì gọi là mô tả bên ngoài. Để hiểu được mô tả bên ngoài, giả sử hệ thống được đặt trong một “hộp đen” chỉ quan sát được các ngõ vào và các đầu ra mà thôi. Để mô tả đặc tính của hệ thống dạng này, ta cần thực hiện một số đo lường tại các điểm trên. Thí dụ, ta có thể áp vào một tín hiệu đã biết, thí dụ hàm xung hay hàm bước, rồi đo lường tại ngõ ra của hệ thống. Mô tả có được từ phép đo này cho ta mô tả bên ngoài của hệ thống.
Giả sử mạch trong hỉnh 1.34a có ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) được được gói gọn trong “hộp đen” và chỉ truy cập được từ các đầu vào và đầu ra. Trong điều kiện này thì chỉ có một phương pháp để mô tả hay đặc trưng hệ thống là dùng pháp đo lường bên ngoài. Thí dụ ta có thể áp nguồn điện áp đã biết f(t) tại đầu vào và đo ngõ ra tương ứng y(t). Từ thông tin này, ta có thể mô tả hay đặc trưng được hệ thống. Đây là phương pháp mô tả bên ngoài.
Giả sử điện áp ban đầu của tụ là zêrô, điện áp vào f(t) tạo dòng điện ra i (hình 1.34a), được chia đều giữa hai nhánh do bản chất cân bằng của mạch điện. Do đó, điện áp qua tụ tiếp tục được giữ ở zêrô. Như thế, khi tính dòng điện i, có thể gở bỏ tụ hay thay thế bằng ngắn mạch. Mạch tương được được vẽ lại ở hình 1.34b. Như thế theo hình 1.34b thì f(t) nhìn thấy trở 5Ω, và ) ( 5 1 ) (t f t i = Đồng thời, do y(t)=2x(i/2)=i, ( ) 5 1 ) (t f t y = (1.66)
Mạch tương đương nhìn từ đầu bên ngoài của hệ thống được vẽ ở hình 1.34b. Rõ ràng là trong mô tả bên ngoài, tụ không tồn tại. Trong hầu hết các hệ thống thì mô tả nội tại và mô tả bên ngoài giống nhau, nhưng cũng có một ít ngọai trừ, thí dụ như trường hợp vừa nêu, theo đó mô tả bên ngoài chưa mô tả đúng hình ảnh của hệ thống. Điều này xuất hiện khi hệ thống là không điều khiển được và/hay không quan sát được. Hình 1.35a và 1.35b cho thấy biểu diễn cấu trúc của một hệ thống đơn giản lần lượt có tính chất không điều khiển được và không quan sát được. Trong hình 1.35a, ta ghi nhận là phần của hệ thống (hệ con S2) nằm bên torng hộp không thể điều khiển được từ ngõ vào f(t). Trong hình 1.35b một số ngõ ra của hệ thống (nằm trong hệ con S2) không thể quan sát được từ các đầu ra. Nếu muốn mô tả một trong các hệ thống này dùng phép áp tín hiệu bên ngoài
)(t (t
f rồi đo ngõ ra y(t), thì đo lường không đặc trưng được toàn bộ hệ thống mà chỉ đặc trưng một phần của hệ (trường hợp này là hệ con S1) là hệ có cả tính quan sát được và điêu khiển được (kết nói được được cả ngõ vào và ngõ ra). Hệ thống loại này thường không mong muốn trong thực tế và cần tránh trong các thiết kế hệ thống.
Tín hiệu là tập thông tin hay dữ liệu. Hệ thống xử lý tín hiệu vào, biến đổi hay rút thêm thông tin từ chúng để tại tín hiệu ra (đáp ứng). Hệ thống có thể thực hiện dùng phần tử vật lý (phần cứng) hay dùng thuật toán để tính tín hiệu ra từ tính hiệu vào (phần mềm)
Đo lường thích hợp kích thước của tín hiệu là năng lượng khi tín hiệu là vô hạn. Nếu năng lượng tín hiệu là vô hạn, thì đo lường thích hợp là công suất, nếu tồn tại. Công suất tín hiệu là trung bình theo thời gian của năng lượng tín hiệu (trung bình trong toàn bộ thời gian từ −∞ đến ∞. Đối với tín hiệu tuần hoàn, thì phép trung bình chỉ thực hiện trong một chu kỳ, do tính lặp lại có chu kỳ của tín hiệu). Công suất tín hiệu là trị trung bình – bình phương của tín hiệu (lấy trung bình trong toàn thời gian từ −∞ đến ∞.
Tín hiệu có thể được phân loại theo:
1. Tín hiệu liên tục theo thời gian xác định tại giá trị liên tục của biến độc lập (thường là biến thời gian t). Tín hiệu rời rạc theo thời gian chỉ xác định với tập các thời điểm hữu hạn hay đếm được.
2. Tín hiệu analog là tín hiệu có giá trị biên độ là liên tục. Mặt khác, tín hiệu có biên độ chỉ có số hữu hạn giá trị là tín hiệu số. Thuật ngữ rời rạc theo thời gian hay liên tục theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu dọc theo trục thời gian (truc ngang), Thuật ngữ analog hay số , thì cho thấy bản chất của biên độ tín hiệu (trục dọc)
3. Tín hiệu tuần hoàn được định nghĩa với f(t)= f(t+T0) với trịc bé nhất của T0 thỏa hệ thức trên được gọi là chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn giữ nguyên giá trị khi được dời đi các khoảng là bội số của chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn còn được tạo ra từ bằng cách mở rộng theo chu kỳ các đoạn của f (t) với độ rộng là T0. Cuối cùng, theo định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn phải tồn tại trong suối thời gian −∞<t<∞ . Tín hiệu là không tuần hoàn khi không có chu kỳ.
Tín hiệu không dừng bắt đầu bắt đầu từ t =−∞ đến t =∞. Tín hiệu nhân quả là tín hiệu là zêrô khi t<0. Do đó, tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. 4. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn bắt đầu từ t=−∞ đến t =∞.
5. Tín hiệu đã biết được hoàn toàn mô tả vật lý dạng toán học hay dạng đồ thị được gọi là tín hiệu xác định. Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu chỉ biết được các thừa số củ mô tả ngẫu nhiên như trị trung bình, trị trung bình bình phương, v. v,…, thay vì dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị.
Tín hiệu f(t) được làm trễ T giây (dời phảỉ) được viết thành f( t- T) ; mặt khác, f(t) được làm sớm (dời trái) được viết thành f(t + T . Tín hiệu f(t) được nén theo theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) viết thành f(at), mặt khác, tín hiệu giãn theo thời gian được viết thành (1)
a
f . Tín hiệu nghịch theo thời gian viết thành f( - t).
Hàm bước đơn vị u(t) rất hữu dụng để biểu diễn tín hiệu nhân quả và tín hiệu có nhiều dạng mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau.
Theo định nghĩa truyền thống, hàm xung đơn vị δ(t) được đặc trưng bằng diện tích đơn vị, và tín hiệu tập trung chỉ tại một thời điểm t = 0. Hàm xung có đặc tính lấy mẩu (hay đặc tính dời), theo đó phần diện tích của tích một hàm với xung đơn vị thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại xung đơn vị (với giả sử là hàm liên tục tại vị trí tồn tại của xung). Theo xu hướng hiện đại, hàm xung được xem là hàm tổng quát và được định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu.
Hàm mủ est, trong đó s là số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ hằng số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, và hàm sin thay đổi theo dạng mủ.
Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) là hàm chẵn theo thời gian và phản đối xứng theo trục dọc là hàm lẻ theo thời gian. Tích của hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẽ theo thời gian. Tuy nhiên, tích của hàm chẵn với hàm chẵn hay tích của hàm lẻ với hàm lẻ là một hàm chẳn. Diện tích của hàm lẻ từ t = - a đến a luôn luôn là zêrô, bất chấp giá trị của a. Mặt khác, diện tích của phần chẵn từ t = - a đến a luôn là hai lần phần diện tích của tích hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0). Các tín hiệu đều có thể viết thành tổng của hàm chẵn và hàm lẻ theo thời gian.
Hệ thống xử lý các tín hiệu ngõ vào để tạo các tín hiệu ngõ ra (đáp ứng). Ngõ vào là nguyên nhân còn ngõ ra là hậu quả. Thông thường, ngõ ra bị tác động bởi hai nguyên nhân: điều kiện nội tại của hệ thống (như các điều kiện đầu) và tín hiệu tác động bên ngoài.
Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống:
1. Hệ thống tuyến tính được đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; nếu có nhiều nguyên nhân (thí dụ như có nhiều ngõ vào và nhiều điều kiện đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng tổng là tổng của đáp ứng do từng nguyên nhân, với điều kiện các tác động khác là không tồn tại. Hệ phi tuyến là hệ không tuyến tính.
2. Hệ bất biến theo thời gian được đặc trưng từ các tham số của hệ thống là không đổi theo thời gian. Tham số của hệ không bất biến thì thay đổi theo thời gian. 3. Trong hệ thống không có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng ra tại thời điểm t chỉ
phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào (tại thời điểm t). Trong hệ có tính nhớ (còn gọi là hệ thống động), đáp ứng của hệ thống tại thời điểm bất kỳ t không chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào, mà còn phụ thuộc trị quá khứ của ngõ vào (trị trước thời gian t).
4. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tại t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào (giá trị của ngõ vào sau t), thì hệ thống là không nhân quả. Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai của ngõ vào. Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí dụ có biến không gian) thì thực hiện được.
5. Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố.
6. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này.
7. Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số.
8. Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ không khả nghịch.
Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống một