Trong quá trình giảng dạy , việc khai thác kiến thức và sáng tác ra những bài toán khác tơng tự từ một bài toán là vấn đề hết sức quan trọng bởi lẽ đó là cơ sở để học sinh hiểu sâu kiến thức phát triển t duy , hình thành kỹ năng , kỹ xảo .
Cùng với sự sáng tác và su tầm tôi xin trình bày nội dung phần này qua một số ví dụ sau :
Ví dụ 31 : Từ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 - x + 1 đã trình bày ở VD1
Ta có thể phát triển thành bài toán sau : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = ( x2 - x + 1)2
Giải : Mặc dù B ≥ 0 nhng giá trị nhỏ nhất của B không phải = 0 vì : x2 - x + 1 ≠ 0
Ta có : x2 - x + 1 = ( x -1/2) 2 + 3/4 ≥ 3/4 , dấu "=" xảy ra <=> x = 1/2 Do đó B nhỏ nhất <=> ( x2 - x + 1 ) nhỏ nhất .
Vậy min B = ( 3/4 )2 = 9/16 <=> x = 1/2
Ví dụ 32 : Cho a < b < c < d là bốn số thực tuỳ ý , Với giá trị nào của x thì biểu thức : f(x) = x - a + x - b + x - c + x - d đạt giá trị nhỏ nhất . Giải : Ta có f(x) = ( x - a + x - d ) + ( x - b + x - c ) mà : x - a + x - d = x - a + d - x ≥ x - a + d - x Do a < d => x - a + x - d ≥ d - a dấu "=" xảy ra <=> ( x - a ) (d - x) ≥ 0 <=> a ≤ x ≤ d
Tơng tự : x - b + x - c ≥ c - b , dấu "=" xảy ra <=> b ≤ x ≤ c => f(x) ≥ d + c - a - b
a ≤ x ≤ d
dấu "=" xảy ra <=> => b ≤ x ≤ c b ≤ x ≤ c
Vậy min f(x) = d + c - a - b <=> b ≤ x ≤ c
- Từ bài toán trên ta có thể biến đổi thành bài toán sau :
Số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là chẵn . Lời giải bài toán này tôi đã trình bày ở ví dụ 17) .
- Từ đó ta hình thành bài toán tổng quát :
Cho n số thực : a1 < a2 < .... < an . Với giá trị nào của x thì biểu thức f(x) = x - a1 + x - a2 + .... + x - an-1 + x - an đạt giá trị nhỏ nhất .
Để giải bài toán này ta phải xét 2 trờng hợp :
+ n = 2k ( k = 1,2,3, .... ) + n = 2k -1 ( k = 1,2 , 3 , ...)
Ví dụ 33 :
Cho x, y ∈ R thoả mãn điều kiện : x2 + y2 = 1
Tìmgiá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức A = x + y
Giải : Ta có : ( x - y )2≥ 0 , ∀ x , y ∈ R => x2 + y2≥ 2xy => 2 (x2 + y2) ≥ (x + y)2 mà x2 + y2 = 1 nên 2 ≥ (x + y)2 hay : A2 ≤ 2 => A ≤ 2 => - 2 ≤ A ≤ 2 Vậy max A = 2 <=> x = y = 2 /2 min A = - 2 <=> x = y = - 2 /2
+ Từ bài toán trên ta có thể sáng tác ra một số bài toán khác nh sau :
1) Cho x , y ∈ R thoả mãn điều kiện : x2 + 4y2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = x + 2y 2) Cho x , y ≥ 0 thoả mãn điều kiện : 4x2 + 9y2 = 8
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của M = 2x + 3y
Ví dụ 34 :
Tìm giá trị lớn nhất của M = 2x - 3 + 5 - 2x
Giải :
Điều kiện để căn thức tồn tại : 3/2 ≤ x ≤ 5/2 áp dụng bất đẳng thức Bunhia kốpxki ta có :
( 2x - 3 + 5 - 2x )2 ≤ ( 12 +12 ) (2x - 3 + 5 - 2x ) = 4 => 2x - 3 + 5 - 2x ≤ 2 , ∀ x
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 Vậy max M = 2 <=> x = 2
Từ bài toán này ta đa đến bài giải phơng trình sau : Giải phơng trình : 2x - 3 + 5 - 2x = x2 - 4x + 6 (*) Theo chứng minh trên : 2x - 3 + 5 - 2x ≤ 2 , ∀ x
Mà : x2 - 4x + 6 = (x - 2) 2 + 2 ≥ 2 , ∀ x
Do đó để phơng trình (*) thoả mãn thì x = 2 hay x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho .