- Chứng minh tứ giác cĩ bốn đỉnh thuộc một đờng trịn. (Định nghĩa) - Chứng minh tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối bằng 2v.
- Chứng minh gĩc ngồi tại 1 đỉnh bằng gĩc trong đối diện với gĩc kề của nĩ. - Chứng minh hai gĩc kề nhau cùng nhìn một đoạn cố định bằng nhau.
II. Bài tập.
Bài 1 : Cho tam giaực ABC vuõng tái A. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa AC. ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh CM caột BC ụỷ ủieồm thửự 2 laứ N. BM keựo daứi gaởp ủửụứng troứn tái D.
a) Chửựng minh 4 ủieồm B, A, D, C naốm trẽn moọt ủửụứng troứn.
b) Gói O laứ trung ủieồm cuỷa BC. Chửựng minh OM laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn
ủửụứng kớnh MC.
Bài 2 : Cho tam giaực ủều ABC. Trẽn nửỷa maởt phaỳng bụứ BC khõng chửựa ủổnh A, ta laỏy moọt ủieồm D sao cho :
a) Chửựng minh raống ABDC laứ moọt tửự giaực noọi tieỏp. b) Tỡm tãm ủửụứng troứn ngoái tieỏp tửự giaực ABDC.
Bài 3 : Cho hai ủoán thaỳng AC vaứ BD caột nhau tái E. Bieỏt raống AE.EC = BE.ED. Chửựng minh raống boỏn ủieồm A, B, C, D cuứng naốm trẽn moọt ủửụứng troứn.
Bài 4 : Cho tửự giaực ABCD coự hai ủửụứng cheựo AC vaứ BD vuõng goực vụựi nhau tái O. Tửứ O keỷ OE, OF, OG, OH lần lửụùt vuõng goực vụựi caực cánh AB, BC, CD vaứ DA. Chửựng minh tửự giaực EFGH noọi tieỏp ủửụùc ủửụứng
Bài 5 : Cho tam giaực ABC noọi tieỏp ủửụứng troứn tãm O. Tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn tái B vaứ C caột nhau tái D. Qua D keỷ moọt caựt tuyeỏn caột ủửụứng troứn tái E vaứ F caột cánh AC ụỷ I. Trong trửụứng hụùp caựt tuyeỏn DEF song song vụựi AB. Chửựng minh :
a) Naờm ủieồm B, O, I, C, D trẽn moọt ủửụứng troứn. b) IE = IF.
Bài 6 : Cho hỡnh thang ABCD noọi tieỏp trong ủửụứng troứn (O). Caực ủửụứng cheựo AC vaứ BD caột nhau ụỷ E, caực cánh AD vaứ BC keựo daứi caột nhau ụỷ F. Chửựng minh:
b) Tửự giaực AOCF noọi tieỏp .
Bài 7 : Cho đờng trịn (O) và và một điểm A nằm bên ngồi đờng trịn. Qua A kẻ hai tiếp
tuyến AB và AC với đờng trịn (B, C là tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC. Đờng thẳng kẻ qua M vuơng gĩc với OM cắt tia AB, AC lần lợt ở D và E. Chứng minh
a/ Bốn điểm B, D, M, O thuộc cùng một đờng trịn. b/ Bốn điểm O, M, E, C thuộc cùng một đờng trịn. c/ M là trung điểm của DE.
Bài 8 : Tam giác ABC cân ở A nội tiếp đờng trịn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm
M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM = CN. Chứng minh tứ giác AMNO là tứ giác nội tiếp.
Bài 9 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O), M là điểm chính giữa của cung AB.
Nối M với A, M với C cắt AB lần lợt ở E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đợc đờng trịn.
Bài 10 : Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuơng gĩc với AB cắt đờng trịn (O) ở C, cắt đờng trịn (O’) ở D. Tia CA cắt đờng trịn (O’) ở I, tia DA cắt đờng trịn (O) ở K.
a/ Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp đợc đờng trịn.
b/ Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh ba điểm A, M, B thẳng hàng.
Bài 11 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. M là một điểm trên đờng trịn, C là một điểm
nằm giữa A và B. Qua M kẻ đờng thẳng vuơng gĩc với CM, đờng thẳng này cắt các tiếp tuyến của đờng trịn (O) kẻ từ A và B lần lợt ở E và F. Chứng minh :
a/ Tứ giác AEMC và BCMF là các tứ giác nội tiếp. b/ Tam giác ECF là tam giác vuơng ở C.
Bài 12 : Cho tam giác ABC vuơng ở A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đờng trịn đờng kính
IC cắt BC ở E, cắt BI ở D (D khác I). Chứng minh : a/ Tứ giác ABCD nội tiếp.
b/ I là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE. c/ Ba đờng thẳng AB, CD, EI đồng quy.