Mối quan hệ giữa biến đổi Wavelet và Fourier
Khụng giống như biến đổi Fourier chỉ thớch hợp khi phõn tớch những tớn hiệu ổn định (stationary),Wavelet là phộp biến đổi được sử dụng để phõn tớch cỏc tớn hiệu khụng ổn định (non-stationary) – là những tớn hiệu cú
đỏp ứng tần số thay đổi theo thời gian.
Để khắc phục những hạn chế của biến đổi FT, phộp biến đổi Fourier thời gian ngắn – STFT được đề xuất. Chỉ cú một sự khỏc biệt nhỏ giữa STFT và FT: Trong biến đổi STFT, tớn hiệu được chia thành cỏc khoảng nhỏ và
trong khoảng đú tớn hiệu được giảđịnh là tớn hiệu ổn định. Để thực hiện kỹ thuật này cần chọn một hàm cửa sổ w sao cho độ dài của cửa sổđỳng bằng cỏc khoảng tớn hiệu phõn chia. Với phộp biến đổi STFT, chỳng ta cú thể thu được đỏp ứng tần số - thời gian của tớn hiệu đồng thời mà với phộp biến đổi FT ta khụng thực hiện được.
Biến đổi STFT đối với tớn hiệu liờn tục thực được định nghĩa như sau:
X(f,t) = ∞
∫
∞ − − − e dt t w t x() ( τ)*] 2jπft [ (2.12)Trong đú độ dài thời gian của cửa sổ là (t-τ), chỳng ta cú thể dịch chuyển vị trớ của cửa sổ bằng cỏch thay đổi giỏ trị t và để thu được cỏc đỏp ứng tần số khỏc nhau của đoạn tớn hiệu ta thay đổi giỏ trị τ .
Giải thớch biến đổi STFT bằng nguyờn lý bất định Heissenber, nguyờn lý này phỏt biểu là: Khụng thể biết được chớnh xỏc được biểu diễn thời gian - tần số của một tớn hiệu (hay khụng thể biết cỏc thành phần phổ của tớn hiệu ở một thời điểm nhất định). Cỏi mà ta cú thể biết là trong một khoảng thời gian nhất định tớn hiệu cú những băng tần nào. Đõy được gọi là bài toỏn phõn giải. Vấn đề này liờn quan đến độ rộng của hàm cửa sổ
mà chỳng ta sử dụng. Nếu hàm cửa sổ càng hẹp thỡ độ phõn giải càng tốt hơn và giảđịnh tớn hiệu là ổn định càng cú độ chớnh xỏc nhưng độ phõn giải tần số lại kộm đi. Ta cú cỏc hệ quả sau:
Cửa sổ hẹp -> phõn giải thời gian tốt, phõn giải tần số kộm Cửa sổ rộng -> phõn giải tần số tốt, phõn giải thời gian kộm
Trờn cơ sở cỏch tiếp cận biến đổi STFT, biến đổi Wavelet được phỏt triển
để giải quyết vấn đề vềđộ phõn giải tớn hiệu (miền thời gian hoặc tần số) mà STFT vẫn cũn hạn chế. Biến đổi Wavelet được thực hiện theo cỏch: tớn hiệu được nhõn với hàm Wavelet (tương tự như nhõn với hàm cửa sổ
trong biến đổi STFT), rồi thực hiện biến đổi riờng rẽ cho cỏc khoảng tớn hiệu khỏc nhau trong miền thời gian tại cỏc tần số khỏc nhau. Cỏch tiếp
cận như vậy cũn được gọi là: phõn tớch đa phõn giải – MRA (Multi Resolution Analysis): phõn tớch tớn hiệu ở cỏc tần số khỏc nhau và cho cỏc độ phõn giải khỏc nhau.
MRA khi phõn tớch tớn hiệu cho phộp: phõn giải thời gian tốt và phõn giải tần số kộm ở cỏc tần số cao; phõn giải tần số tốt và phõn giải thời gian kộm ở cỏc tần số thấp. Như vậy kỹ thuật này rất thớch hợp với những tớn hiệu: cú cỏc thành phần tần số cao xuất hiện trong khoảng thời gian ngắn, cỏc thành phần tần số thấp xuất hiện trong khoảng thời gian dài chẳng hạn nhưảnh và khung ảnh video.
Cơ sở toỏn học cũng như cỏc tớnh chất của biến đổi Wavelet liờn tục sẽ được trỡnh bầy chi tiết trong chương 3.
Biến đổi Wavelet rời rạc – DWT
Bước này cú thể hiểu phộp biến đổi DWT như là ỏp dụng một tập cỏc bộ
lọc: thụng cao và thụng thấp. Thiết kế cỏc bộ lọc này tương đương như kỹ
thuật mó hoỏ băng con (subband coding) nghĩa là: chỉ cần thiết kế cỏc bộ
lọc thụng thấp, cũn cỏc bộ lọc thụng cao chớnh là cỏc bộ lọc thụng thấp dịch pha đi một gúc 180o. Tuy nhiờn khỏc với mó hoỏ băng con, cỏc bộ
lọc trong DWT được thiết kế phải cú đỏp ứng phổ phẳng, trơn và trực giao.
Hỡnh 2.11 dưới đõy minh hoạ dạng tổng quỏt của biến đổi DWT một chiều. Theo đú tớn hiệu được cho đi qua cỏc bộ lọc thụng cao và thụng thấp H và G rồi được lấy mẫu xuống (down sampling) hệ số 2 tạo thành biến đổi DWT mức 1. Biến đổi ngược thỡ thực hiện ngược lại: lấy mẫu lờn
(up sampling) hệ số 2 rồi sử dụng cỏc bộ lọc khụi phục H’, G’ (lý tưởng là H’ và G’ chớnh là H, G).
Hỡnh 2.8. Bank lọc khụi phục lý thuyết sử dụng DWT 1D
Từ biến đổi DWT một chiều cú thể mở rộng định nghĩa biến đổi DWT hai chiều theo cỏch: Sử dụng cỏc bộ lọc riờng biệt, thực hiện biến đổi DWT
một chiều dữ liệu vào (ảnh) theo hàng rồi thực hiện theo cột. Theo cỏch này nếu thực hiện biến đổi DWT ở mức 1, sẽ tạo ra 4 nhúm hệ số biến
đổi. Quỏ trỡnh biến đổi DWT hai chiều cú thể minh hoạ như hỡnh 2.12 dưới đõy, trong đú 4 nhúm hệ số là: LL, HL, LH, HH (chữ cỏi đầu tiờn tương ứng đó thực hiện lọc theo hàng, chữ cỏi thứ hai tương ứng đó thực hiện lọc theo cột).
Hỡnh 2.9. Minh hoạDWT hai chiều cho ảnh
Hỡnh 2.10(b). Minh hoạDWT kiểu dyadic mức 3 để nộn ảnh
Hai thuật toỏn nộn sử dụng DWT điển hỡnh
So với biến phộp biến đổi DCT sử dụng trong chuẩn nộn JPEG ra
đời 1992, nộn ảnh dựa trờn biến đổi DWT đó cú những cải tiến đỏng kể. Tuy nhiờn cải tiến mang tớnh đột phỏ sử dụng DWT để nộn ảnh bắt đầu là kỹ thuật mó hoỏ – EZW (embedded zero-tree wavelet).
Thuật toỏn EZW dựa trờn khả năng khai thỏc cỏc thuộc tớnh đa phõn giải của biến đổi Wavelet đểđưa ra một thuật toỏn ớt phức tạp trong tớnh toỏn mà vẫn cho hiệu quả nộn cao. Những cải tiến và nõng cấp của
EZW về sau đó ra đời một số thuật toỏn tương tự như: SPIHT (set partitationing in hierarchical tree – cõy phõn cấp phõn tập) và ZTE (zero-tree entropy coding – mó hoỏ entropy cõy zero).
Gần đõy cũn cú thờm một thuật toỏn nữa được đề xuất đú là LS
(lifting scheme) sử dụng để tạo cỏc biến đổi Wavelet số nguyờn. Kỹ thuật này sử dụng cỏc bộ lọc Wavelet trực giao đem lại hiệu quả rất cao cho cỏc
ứng dụng nộn ảnh cú tổn hao. Chỳng ta sẽ trỡnh bầy 3 thuật toỏn điển mỡnh này ở chương 3.
