Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Tìm điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A, B , C , D là nhỏ nhất .
Giải :
Ta xét các trờng hợp sau :
a - 4 điểm A, B, C, D tạo nên một tứ giác lồi ABCD .Với bất kỳ điểm M nào ta đều có : Với bất kỳ điểm M nào ta đều có :
MA + MC ≥ AC , dấu "=" xảy ra <=> M ∈ [ AC]MB + MD ≥ BD , dấu "=" xảy ra <=> M ∈ [ BD] MB + MD ≥ BD , dấu "=" xảy ra <=> M ∈ [ BD]
Do đó điểm M cần tìm là giao điểm hai đờng chéo AC và BD
b - một trong 4 điểm , chẳng hạn D nằm trong họăc trên một cạnh củatam giác tạo bởi 3 điểm kia ( tam giác ABC ) khi đó điểm M cần tìm chính là tam giác tạo bởi 3 điểm kia ( tam giác ABC ) khi đó điểm M cần tìm chính là D .
c- 4 điểm A, B , C , D thẳng hàng :
Nếu B và C nằm giữa A và D thì điểm cần tìm là bất kỳ điểm nào thuộc đoạn BC
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC cân ở A và điểm D cố định trên đáy BC . Dựng một đờng thẳng song song với B C , cắt 2 cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất
Giải :
Dựng góc CAx = DAB
trên Ax xác định điểm D/ sao cho AD/ =AD do EF // BC , ∆ ABC cân tại A => AE = AF . Từ đó dễ thấy ∆ ADE = ∆ AD/F
=> DE = D/F với D/ là điểm cố định .
Ta có DE + DF = D/ F + DF ≥ DD/ = hằng số .
Do đó DE + DF nhỏ nhất <=> D/ F + DF nhỏ nhất tức là bằng DD/ vậy DE + DF nhỏ nhất <=> F là giao điểm của AC và DD/
Ví dụ 3 : Cho O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC (góc B tù ) . Tìm điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MO nhỏ nhất
Giải : .
Ta có MA + MB + MC + MO
= ( MB + MO ) + ( MA + MC ) ≥ OB + AC
Dấu " = " xảy ra <=> M ∈ OB và M ∈ AC tức M là giao của AC với OB
.Vậy Tổng (MA + MB + MC + MO) nhỏ nhất khi M là giao điểm của AC với OB
* Dạng 2: Sử dụng quan hệ giữa đờng vuông góc , đờng xiên và hình chiếu
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC (Â=90o ), AH ⊥ BC. Điểm M chuyển động trên BC , từ M kẻ MD ⊥ AB , ME ⊥ AC . Xác định vị trí của M để DE nhỏ nhất
Xét tứ giác ADMEcó A = D = E =90o
nên ADMElà hình chữ nhật => AM = DE Do đó DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất
Ta có AH ⊥ BC nên AM ≥ AH ( Không đổi ) dấu "=" xảy ra <=> M ≡ H
Vậy khi M là chân đờng cao hạ từ A xuống BC thì DE nhỏ nhất
Ví dụ 5: cho tam giác ABC có ba góc nhọn , M là một điểm bất kì nằm trên BC . Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất
Giải :
Gọi I là trung điểm của AM
ta có IE và IF là trung tuyến ứng với cạnh huyền AM của các tam giác vuông AEMvà AFM nên
IE = IF = IA =IM =1/2 AM => ∆ AEI và ∆ AFI cân tại I => ∆ AEI và ∆ AFI cân tại I
Do đó EIF = EIM +MIF =2EAI +2FAI hay EIF = 2BAC ( không đổi )
∆EIF có góc ở đỉnh I không đổi nên cạnh đáy EF nhỏ nhất <=> cạnh bên nhỏ nhất mà IE =IF = 1/2 AM , do đó IE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất tức là khi AM ⊥ BC vậy EF có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đờng cao hạ từ A xuống BC
Ví dụ 6:
Cho (O ; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn . Qua A vẽ đờng thẳng d cắt (O) tại B
và C (B nằm giữa A và C) .Tìm vị trí của d để AB + AC lớn nhất
Giải:
kẻ OI ⊥ BC => I là trung điểm của BC Ta có AB +AC = AI - IB +AI + IC = 2AI Do đó AB +AC lớn nhất <=> AI lớn nhất
mà AI ≤ AO (const), dấu bằng xảy ra <=> I ≡ O hay (d ) đi qua O . Vậy (AB + AC ) lớn nhất <=> ( d ) đi qua O
Ví dụ 7:
Cho hình vuông ABCD . Hãy dựng nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất
Giải :
Gọi EFGH là hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD thì tâm của 2 hình vuông này phải trùng nhau tại O với O là giao của AC và BD
Ta có EG = HF và EG ⊥ HF tại trung điểm O của mỗi đờng
SEFGH =1/2 GE. HF = 1/2 . 2OE. 2OE = 2OE2
Do đó SEFGH nhỏ nhất <=> OE nhỏ nhất
Từ O dựng OM ⊥ AB => M là trung điểm của AB => OE ≥ OM (không đổi ) , dấu "=" xảy ra <=> E ≡ M
Vậy SEFGH nhỏ nhất <=> E,F,G,H là trung điểm của các cạnh hình
vuông ABCD
Ví dụ 8:
Cho đờng tròn (O;R), BC là dây cung cố định (BC < 2R) . A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn nhất
Giải:
Gọi A/ là điểm chính giữa cung lớn BC A/O cắt BC tại M => A/M ⊥ BC tại M hạ AH ⊥ BC , ta có SABC = 1/2 BC. AH
Do BC cố định , AH thay đổi ( do A chuyển động ) nên SABC lớn nhất <=> AH lớn nhất
Ta có AH ≤ AM (quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc ) mà AM ≤ AO + OM ( bất đẳng thức tam giác )
=> AH ≤ AO + OM = OA/ + OM hay AH ≤ A/M (không đổi ) Dấu bằng xảy ra <=> A ≡ A/
Vậy khi A là điểm chính giữa cung lớn BC thì diện tích tam giác ABC lớn nhất
Ví dụ 9:
cho tam giác ABC . Qua A dựng đờng thẳng d cắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất
Giải
Gọi M là giao của d với BC, dựng BK và CI vuông góc với d Với bất kì vị trí nào của M trên BC ta đều có :
SABM + SACM = SABC => 1/2 AM . BK + 1/2 AM . CI = SABC =>
( ) AM S CI BK S CI BK AM ABC ABC 2 2 1 + = ⇒ + =
mà SABC không đổi nên (BK + CI ) nhỏ nhất <=> AM lớn nhất . Giả sử : AC ≥ AB , từ A dựng AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) .
Ta có : HM ≤ HC => AM ≤ AC = const . AM = AC <=> M ≡ C
Vậy đờng thẳng d phải dựng là đờng thẳng chứa cạnh lớn nhất trong 2 cạnh AB , AC .
* Dạng 3 : Sử dụng tính chất độ dài đờng gấp khúc
Ví dụ 10 : Co góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó . Tìm trên Ox , Oy lần lợt 2 điểm B và C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất .
Giải :
Xác định A1 , A2 lần lợ là điểm đối xứng của A qua Ox , Oy => AB = A1B , AC = A2C