V. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
3.3 Mối quan hệ giữa sự tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh
thớ với hiện t-ợng kì dị tại vô hạn
Trong phần này, chúng tôi chỉ ra rằng sự tồn tại (hay không tồn tại) bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ liên quan mật thiết đến hiện t-ợng kì dị tại vô hạn của các hàm đa thức thực hai biến. Cụ thể là, nếu không tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớf−1(t0), thì phải có thành phần liên thông của thớ f−1(t) biến mất tại vô hạn khi t dần đến t0.
3.3.1 Phát biểu các kết quả
Nh- đã thấy ở mục 2.1, mỗi đa thức f : Rn →R xác định một phân thớ Milnor toàn cục
f : Rn \f−1(B(f)) →R\B(f).
Tập B(f) các giá trị rẽ nhánh của f gồm tập Σ(f) các giá trị tới hạn của
f và tập B∞(f) các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của f.
Ta cũng nhắc lại ở đây (đã trình bày trong mục 2.1) khái niệm giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn và khái niệm thành phần liên thông biến mất tại vô hạn.
Định nghĩa 3.3.1. Cho f : Rn → R là một đa thức. Giá trị λ ∈ R đ-ợc gọi là một giá trị chính qui tại vô hạn của f nếu tồn tại δ > 0 và r >0 sao cho ánh xạ hạn chế
f : f−1(Dδ(λ))\Bnr →Dδ(λ)
là một phân thớ tầm th-ờng lớp C∞, ở đây Dδ(λ) = {t ∈ R : |t−λ| < δ}. Ng-ợc lại, λ đ-ợc gọi là một giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của f .
Định nghĩa 3.3.2 ([31]). Cho f : Rn → R là một đa thức. Ta nói rằng f
có thành phần liên thông biến mất tại vô hạn khi tdần đến t0 nếu với mỗi
r > 0, tồn tại |t−t0| 1 sao cho Wt ∩Bnr = ∅, ở đây Wt là thành phần liên thông của f−1(t).
Bây giờ, ta phát biểu các kết quả chính của phần nàỵ
Định lí 3.3.3. Cho f : R2 → R là một đa thức. Giả sử rằng f có dãy loại một. Khi đó, tồn tại thành phần liên thông của f−1(t) biến mất tại vô hạn khi t dần đến 0.
Hệ quả 3.3.4. Cho f : R2 → R là một đa thức. Giả sử f có dãy loại một. Khi đó, 0 ∈ B∞(f).
Hệ quả 3.3.5. Cho f : R2 → R là một đa thức. Khi đó, nếu không tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ f−1(t0), thì tồn tại thành phần liên thông của thớ f−1(t) biến mất tại vô hạn khi t dần đến t0, và nói riêng, t0 là một giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của f.
Hệ quả 3.3.6. Cho f : R2 → R là một đa thức, và t 6∈ B∞(f). Khi đó, tồn tại δ >0, c > 0, α > 0 sao cho
|f(x)−t| ≥ cd(x, f−1(t))α với mọi x ∈ Dδ(t).
Nói riêng, bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ là tồn tại, trừ một tập hữu hạn các thớ.