Ta đã biết hàm sóng của một hệ lượng tử được viết trong biểu diễn tọa độ là:
Ðối với electron, trạng thái của nó không những chỉ phụ thuộc vào các biến số trên mà còn phụ thuộc vào đại lượng đặc trưng cho nó nữa, đó là spin; và hình chiếu của spin trên trục oz nào đó có thể nhận hai giá trị là . Nghĩa là ngoài các biến số trên, trạng thái của electron còn được quy định bởi một lượng tử số nữa đó là . Do đó hàm sóng của hệ lượng tử được viết là . Vì chỉ có hai giá trị nên ta có thể dùng hai hàm sóng dưới đây để diễn tả hai trạng thái có spin khác nhau của electron:
.
Các hàm này đặc trưng cho spin của hạt nên ta gọi là hàm spin.
Trước đây ta đã có công thức cho hàm sóng dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các hàm riêng là:
.
Trong đó tập các Cn gọi là hàm sóng trong biểu diễn ta đang xét. Cn là hàm sóng nên ta có thể biểu diễn bằng một ma trận có k hàng,1 cột như sau:
.
Trong biểu diễn spin cũng vậy, ta có thể phân tích hàm sóng theo hệ các hàm riêng của spin như sau:
.
Ta cũng có thể biểu diễn bằng một ma trận:
Với cách biểu diễn này ta đã gộp được hai trạng thái khác nhau của hàm sóng về cùng một ma trận. Do đó ta có thể viết gộp những phương trình biến đổi theo thời gian của hai trạng thái
thành một phương trình ma trận cho như sau:
.
Từ đó ta có dạng cụ thể của (10.4) như sau: . (10.5).
Phương trình này thay cho hai phương trình ứng với hai trạng thái của electron có spin khác nhau như sau:
.