CHUYÊN ẹỀ 17 – VEế ẹệễỉNG THẲNG SONG SONG ẹỂ TAẽO THAỉNH CÁC CAậP ẹOAẽN THẲNG TỶ LỆ

II. Caực vớ dú: 1.Vớ dú 1: Giaỷi Pt

CHUYÊN ẹỀ 17 – VEế ẹệễỉNG THẲNG SONG SONG ẹỂ TAẽO THAỉNH CÁC CAậP ẹOAẽN THẲNG TỶ LỆ

THAỉNH CÁC CAậP ẹOAẽN THẲNG TỶ LỆ

A.Phửụng phaựp:

Trong caực baứi taọp vaọn dúng ủũnh lớ Taleựt. Nhiều khi ta cần veừ thẽm ủửụứng phlaứ moọt ủửụứng thaỳng song song vụựi moọt ủửụứng thaỳng cho trửụực,. ẹãy laứ moọt caựch veừ ủửụứng phú ùhay duứng, vỡ nhụứ ủoự maứ táo thaứnh ủửụùc caực caởp ủoán thaỳng tổ leọ

B. Caực vớ dú: 1) Vớ dú 1:

Trẽn caực cánh BC, CA, AB cuỷa tam giaực ABC, laỏy tửụng ửựng caực ủieồm P, Q, R sao cho ba ủửụứng thaỳng AP, BQ, CR caột nhau tái moọt ủieồm.

O F F E

R ^Q

TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG

Chửựng minh: ^{AR BP CQ}. . 1

RB PC QA  (ẹũnh lớ Cẽ – va) Giaỷi

Qua A keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC caột caực ủửụứng thaỳng CR, BQ tái E, F. Gói O laứ giao ủieồm cuỷa AP, BQ, CR

ARE BRC  ^AR = ^AERB BC (a) RB BC (a) BOP FOA  ^BP = ^OP FA OA (1) POC AOE  ^PC = ^PO AE AO (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra: ^BP = ^{PC BP FA}

FA AEPC AE (b)

AQF CQB  ^CQ = ^BCAQ FA (c) AQ FA (c)

Nhãn (a), (b), (c) veỏ theo veỏ ta coự: ^{AR BP CQ}. . ^{AE FA BC}. . 1 RB PC QA  BC AE FA 

* ẹaỷo lái: Neỏu ^{AR BP CQ}. . 1

RB PC QA  thỡ bai ủửụứng thaỳng AP, BQ, CR ủồng quy

2) Vớ dú 2:

Moọt ủửụứng thaờng baỏt kyứ caột caực cánh( phần keựo daứi cuỷa caực cánh) cuỷa tam giaực ABC tái P, Q, R.

Chửựng minh raống: ^RB.QA.PC 1

RA.CQ.BP (ẹũnh lớ Mẽ-nẽ-la-uyựt) Giaỷi:

Qua A keỷ ủửụứng thaỳng song song vụựi BC caột PR tái E. Ta coự

RAE RBP  ^RB = ^BPRA AE (a) RA AE (a)

AQE CQP  ^QA = ^AEQC CP (b) QC CP (b)

Nhãn veỏ theo veỏ caực ủaỳng thửực (a) vaứ (b) ta coự

RB QA BP AE

. = .

RA QC AE CP (1)

Nhãn hai veỏ ủaỳng thửực (1) vụựi ^PC

BP ta coự: ^{RB PC QA}. . = ^{BP AE PC}. . 1 RA BP QC AE CP BP

ẹaỷo lái: Neỏu ^RB.QA.PC 1

RA.CQ.BP thỡ ba ủieồm P, Q, R thaỳng haứng 3) Vớ dú 3:

Cho tam giaực ABC, trung tuyeỏn AM. Gói I laứ ủieồm baỏt kyứ trẽn cánh BC. ẹửụứng thaỳng qua I song song vụựi AC caột AB ụỷ K; ủửụứng thaỳng qua I song song vụựi AB caột AC, AM theo thửự tửù ụỷ D, E. Chửựng minh DE = BK

Giaỷi

Qua M keỷ MN // IE (N AC).Ta coự:

DE AE DE MN = MN ANAE  AN (1) MN // IE, maứ MB = MC  AN = CN (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra ^{DE MN} AE  CN (3) Ta lái coự ^{MN CN MN AB} AB  AC CN  AC(4) Tửứ (4) vaứ (5) suy ra ^{DE AB} AE AC (a) Tửụng tửù ta coự: ^{BK AB} KI AC (6)

Vỡ KI // AC, IE // AC nẽn tửự giaực AKIE laứ hỡnh bỡnh haứnh nẽn KI = AE (7) Tửứ (6) vaứ (7) suy ra ^{BK BK AB}

KI  AE  AC (b) Tửứ (a) vaứ (b) suy ra ^{DE BK}

AE  AE  DE = BK N N D I _M E K C B A E R Q C P B A

TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG

4) Vớ dú 4:

ẹửụứng thaỳng qua trung ủieồm cuỷa cánh ủoỏi AB, CD cuỷa tửự giaực ABCD caột caực ủửụứng thaỳng AD, BC theo thửự tửù ụỷ I, K. Chửựng minh: IA . KC = ID. KB

Giaỷi

Gói M, N theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa AB, CD Ta coự AM = BM; DN = CN

Veừ AE, BF lần lửụùt song song vụựi CD

AME = BMF (g.c.g)  AE = BF Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: ^IA = ^{AE BF}

ID DN CN (1) Cuỷng theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: ^KB = ^BF Cuỷng theo ủũnh lớ Taleựt ta coự: ^KB = ^BF

KC CN(2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra ^IA =^KB Tửứ (1) vaứ (2) suy ra ^IA =^KB

ID KC  IA . KC = ID. KB

5) Vớ dú 5:

Cho xOy, caực ủieồm A, B theo thửự tửù chuyeồn ủoọng trẽn caực tia Ox, Oy sao cho

1 1 1

+

OA OB k (k laứ haống soỏ). Chửựng minh raống AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh Giaỷi

Veừ tia phãn giaực Oz cuỷa xOy caột AB ụỷ C. veừ CD // OA (D  OB)  DOC = DCO = AOC

 COD cãn tái D  DO = DC

Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự ^CD = ^{BD CD OB - CD}

OA OBOA  OB  ^{CD CD} 1 ^{1 1 1} OA OB  OA OB CD (1) F E I M N D ^C B A z O y x D C B A

Theo giaỷ thieỏt thỡ ¹ + ^{1 1} OA OBk (2) Tửứ (1) vaứ (2) suy ra CD = k , khõng ủoồi

Vaọy AB luõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh laứ C sao cho CD = k vaứ CD // Ox , D  OB

6) Vớ dú 6:

Cho ủieồm M di ủoọng trẽn ủaựy nhoỷ AB cuỷa hỡnh thang ABCD, Gói O laứ giao ủieồm cuỷa hai cánh bẽn DA, CB. Gói G laứ giao ủieồm cuỷa OA vaứ CM, H laứ giao ủieồm cuỷa OB vaứ DM. Chửựng minh raống: Khi M di ủoọng trẽn AB thỡ toồng ^OG + ^OH

GD HC khõng ủoồi Giaỷi

Qua O keỷ ủửụứng thaỳng song vụựi AB caột CM, DM theo thửự tửù ụỷ I vaứ K. Theo ủũnh lớ Taleựt ta coự:

OG OI GD CD; ^{OH OK} HC  CD  ^OG + ^{OH OI OK IK} GD HC CD CD CD OG OH IK + GD HC CD   (1)

Qua M veừ ủửụứng thaỳng vuõng goực vụựi AB caột IK, CD theo thửự tửù ụỷ P vaứ Q, ta coự:

IK MP FO

CD MQ MQ khõng ủoồi vỡ FO laứ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn AB, MQ laứ ủửụứng cao cuỷa hỡnh thang nẽn khõng ủoồi (2)

Tửứ (1) vaứ (2) suy ra ^OG + ^{OH FO}

GD HC MQ khõng ủoồi

7) Vớ dú 7:

Cho tam giaực ABC (AB < AC), phãn giaực AD. Trẽn AB laỏy ủieồm M, trẽn AC laỏy ủieồm N sao cho BM = CN, gói giao ủieồm cuỷa CM vaứ BN laứ O, Tửứ O veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AD caột AC, AB tái E vaứ F.

QP P F K I H G M O D _C B A

TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG

Chửựng minh raống: AB = CF; BE = CA Giaỷi.

AD laứ phãn giaực nẽn BAD = DAF

EI // AD  BAD = AEF (goực ủồng vũ)

Maứ DAF OFC (ủồng vũ); AFE = OFC (ủoỏi ủổnh) Suy ra AEF AFE  AFE cãn tái A  AE =AF (a) Aựp dúng ủũnh lớ Taleựt vaứo ACD , vụựi I laứ giao ủieồm cuỷa EF vụựi BC ta coự ^CF = ^{CI CF CA}

CA CD CI CD (1) AD laứ phãn giaực cuỷa BAC nẽn ^{CA BA} AD laứ phãn giaực cuỷa BAC nẽn ^{CA BA}