Bài 1: Cho đường tròn (O;R). S là một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OS = 2R. Vẽ các tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ cat tuyến SDE (D nằm giữa S và E). Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt AB tại H, BE tại K. Chứng minh: HK = HD.
Hướng dẫn:
Vẽ OI vuông góc DE, suy ra I là trung điểm DE.
Ta chứng minh dc A, I, B cùng thuộc đường tròn dk OS, suy ra S,A,I,O,B cùng thuộc 1đường tròn. Suy ra SAIB nt, suy ra <ISB=<IAH.
<IDH=<ISB ( DK // BS do cùng vuông góc OB) nên IADH là tgnt, suy ra <DAH=DIH
<DAH=<DEB ( cùng chắn cung BD) nên <DIH=<DEK, suy ra IH // KE
mà I trung điểm DE (cmt) nên H t/đ DK, suy ra đpcm
Bài 2: Cho hình vuông ABCD. M la trung điểm AB , O là giao điểm 2 đường chéo. lấy H,K lần lượt trên cạnh BC, CD sao cho góc HOK = 45 độ. CMR: MH // AK ( giả sử H hay K không trùng C)
Đáp: Bài này khá khó. Ta thử chứng minh các điều sau:
Chứng minh HO là phân giác góc KHB, KO là phân giác góc DKH bằng cách lấy E trên BC sao cho BE = CK.
Chứng minh tam giác DOK và BHO đồng dạng, suy ra DK.BH = DO.BO = BM. AD. suy ra tam giác BMH và DKA đồng dạng, suy ra điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho 2 đường tròn ( O ) và ( O’ ) cắt nhau tại 2 điểm fân biệt . Đường thẳng OA cắt ( O ) và ( O’ ) lần lượt tại điểm thứ 2 C , D . Đường thẳng O’A cắt ( O ) và ( O’ ) lần lượt tại điểm thứ 2 E , F .
a) C/m : 3 đường thẳng AB , CE và DF đồng quy tại điểm I . b) C/m : tứ giác BEIF nội tiếp được trong 1 đường tròn .
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( O’ ) ( P thuộc ( O ) , Q thuộc ( O’ ) . C/m : AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
Đáp:
a) AB, CE, DF là 3 đường cao nên đồng qui tại I.
b) (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của (O) Mà (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)
hay
Vậy, tứ giác BEIF nội tiếp.
c) Đây là dạng bài toán KINH ĐIỂN ! Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng. suy ra
Tương tự ta cũng có
Do đó, HP = HQ hay H là trung điểm PQ.
Bài 4: Cho (O;R) và dây cung BC cố định. Hai tiếp tuyến tại B,C của (O) cắt nhau tại E. M là trung điểm BC. Một điểm A di động trên cung lớn BC, AE cắt (O) tại D. CMR:
a) AM.MD ko đổi khi A di động trên cung lớn BC b)
Đáp: Ta xem lại câu b) vì vế trái là bậc 1, vế phải là bậc 2 nên có thề đề sai. Ví dụ cho . A là trung điểm cung lớn BC. Khi đó M, D, A thẳng hàng.
Chỉ cần cho R = 3 là thấy sai ngay. Câu b đúng là:
Chứng minh
Bài 5: Cho tứ giac ABCD nội tiếp với đường tròn tâm (O) CMR: AB.CD + AD.BC = AC.DB
Đáp:
Bài này vốn là định lý nổi tiếng Ptoleme, bạn mở sách bài tập toán 9 tập hai, phần ôn cuối năm có hướng dẫn!
Bài 6: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là 2 tiếp điểm), kẻ cát tuyến AMN và gọi E là trung điểm của MN. Tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F.
Hãy xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AFN có giá trị lớn nhất. Tính theo R giá trị lớn nhất đó.
Đáp: Chứng minh A, B, E, O, C cùng thuộc đường. Chứng minh BF // MN. Suy ra ABFN là hình thang. Suy ra (NH là đường cao của tam giác ABN)
Suy ra đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi NH lớn nhất, N là điểm đối xứng của B qua O.
Bài này thầy Tấn mới cho, lớp 7 T.T, thầy bảo là HS giỏi lớp 8, 9,10,11 bí hết trơn. Thầy xem thử:
Bài 7:Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD,BE,CF. Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm AD,BE,CF. CMR : vuông tại A thẳng hàng.
Gợi ý : 1. Tam giác này vuông tại B thì 3 điểm đó cũng thẳng hàng mà?
2. Bài này chứng minh theo phương pháp phản chứng. Em giả sử .Giả sử ABC không phải là tam giác vuông. Xét hai trường hợp Góc A nhọn và góc A